CÁLCULO DIFERENCIAL - (100410D_2204)

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CÁLCULO DIFERENCIAL

ESCENARIO A

Movilidad y tarifas urbanas

Transporte público – Ciudad Medellín

Escenario

En la ciudad de Medellín, el sistema de transporte público enfrenta tensiones entre los usuarios que demandan tarifas justas y las empresas que necesitan cubrir sus costos operativos. Un grupo de ciudadanos recoge datos de distintos recorridos en taxi, buses urbanos y servicios de parqueadero, y te pide apoyo para analizar matemáticamente los esquemas de cobro, identificar relaciones funcionales y tomar decisiones informadas.

Tu reto

Representar y analizar con funciones lineales, racionales, a trozos, exponenciales, logarítmicas y cuadráticas las relaciones matemáticas presentes en el sistema de transporte urbano, para identificar patrones, interpretar comportamientos y apoyar la toma de decisiones ciudadanas en favor de una movilidad más justa y sostenible.

Figura 1. 

Escenario A - Movilidad y tarifas urbanas.

 

Nota. Escenario A — Movilidad y tarifas urbanas. Representa la dinámica de tarifas y costos urbanos. Fuente autor.

Ejercicio 1. Función lineal y función racional

Una empresa de taxis cobra una tarifa fija al iniciar el viaje más un costo adicional por kilómetro recorrido. En cuatro recorridos distintos se registraron los siguientes datos:

Tabla 3. 

Recorrido Vs Costo.

x: Recorrido (km) 1 3 5 7

y = C(x): Costo (miles $) 5 8 11 14

Nota. Tabla de valores recorrido vs costo. Fuente autor.

I. Analiza la situación: ¿qué relación matemática existe entre las variables de la tabla?, ¿se trata de una función lineal? Formula tu estrategia: ¿qué fórmula usarás para hallar la ecuación y = mx + b y por qué es la pertinente en este caso? Explica antes de realizar cualquier cálculo.

II. Aplica tu estrategia paso a paso: Usando dos puntos de la tabla, calcula la pendiente m y el intercepto b. Halla la ecuación y = mx + b. Explica qué significan m y b en este contexto con sus unidades. Luego a) Predice el costo para un recorrido de 25 km. b) Si un usuario dispone de $10.000, ¿cuántos kilómetros puede recorrer según el modelo?

III. Verifica en GeoGebra: Ubica los cuatro puntos y traza la recta. Adjunta la captura de pantalla y comprueba que los valores calculados coincidan con la gráfica. Interpreta: ¿qué te indica la pendiente sobre el costo por kilómetro? ¿Es esta tarifa justa para los usuarios? Explica tu respuesta.

Función racional:

El costo de uso del parqueadero del centro comercial sigue el modelo racional f(x) =  ((3x + 6))/((2x - 1))  , donde x es el número de horas.

IV. Analiza la función racional f(x) =  ((3x + 6))/((2x - 1)): ¿Para qué valores de x está definida?, ¿qué ocurre en el valor que hace que el denominador sea cero? Formula tu estrategia para determinar el dominio y el rango. Luego aplícala, escribe el dominio y el rango en notación por intervalos y verifica graficando en GeoGebra. Adjunta la captura e interpreta el resultado en el contexto del escenario.

Ejercicio 2. Función definida a trozos

El costo mensual C(x) (en miles de pesos) de mantenimiento de un vehículo del parque automotor depende de los años de antigüedad x del automóvil y se define mediante la siguiente función a trozos:

C(x)={█(x² + 5     si ≤ x ≤ 3@((x + 1))/((x - 4))          si  3 < x < 6@2x + 1           si  x ≥ 6)┤

I. Analiza la función: ¿cuántas ramas tiene?, ¿qué condición determina cuál rama se aplica en cada valor de x? Identifica, antes de calcular, qué expresión corresponde a cada uno de los puntos x = 3, x = 5 y x = 6 y explica por qué esa rama es la pertinente en cada caso. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la expresión correspondiente a cada punto paso a paso y calcula sus coordenadas. Muestra el procedimiento completo con cada sustitución y operación justificada.

III. Representa la función completa en GeoGebra y adjunta la captura de pantalla. Verifica que los puntos calculados en el paso II coincidan con la gráfica. Luego interpreta: ¿qué comportamiento presenta C(x) en x = 4?, ¿qué significa matemáticamente ese valor en esa rama de la función? Relaciona tu respuesta con la realidad del mantenimiento vehicular en esa etapa de vida útil.

Ejercicio 3. Función exponencial

Un operador de transporte aplica la fórmula del interés compuesto para calcular el incremento proyectado del precio de los buses a lo largo de los años. Laura deposita $500.000 en un fondo de inversión que paga el 5% de interés compuesto anual y quiere saber cuánto tendrá después de 3 años.

Procedimiento:

M = 500.000(1 + 0,5 × 3)

M = 500.000(1 + 0,15)

M = 500.000(1,150)³

M = 500.000(1,520875)

M = 760.437,5

Respuesta: Laura ha ganado $260.437,5 en 3 años.

I. Examina el procedimiento presentado línea por línea. Identifica cada error cometido y explica con precisión qué propiedad de las funciones exponenciales se violó en cada caso. Formula tu estrategia: ¿qué propiedades y fórmulas son las correctas para resolver este problema y por qué son pertinentes? No calcules aún: solo analiza, identifica y argumenta.

II. Aplica la estrategia formulada paso a paso. Muestra cada operación con su justificación y obtén la respuesta correcta.

III. Grafica la función exponencial en GeoGebra, marca el valor calculado sobre la gráfica y adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cuánto tendrá Laura realmente después de 3 años? ¿Cómo puede usarse este resultado para planificar la renovación del parque automotor de la ciudad?

Ejercicio 4. Función logarítmica

Los ingenieros del sistema de transporte férreo usan la escala de Richter para evaluar si las vibraciones sísmicas afectan la infraestructura vial. El modelo es: M = log₁₀(A/(A₀)  ), donde M es la magnitud, A es la amplitud registrada y A₀ = 1 μm es el valor de referencia.

Dato del escenario: 

El sismo histórico de la Costa Pacífica (1979) registró una magnitud de M = 8,1.

I. Analiza la función M = log₁₀(A/(A₀)  ): ¿Para qué valores de A está definida M?, ¿por qué el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo? Escribe el dominio en notación por comprensión. Luego formula tu estrategia: ¿qué propiedad de los logaritmos usarías para despejar A a partir del valor de M dado y por qué esa propiedad es la pertinente? No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: despeja A usando las propiedades de logaritmos, encuentra su valor numérico y realiza la conversión a metros. Muestra cada operación con su justificación.

III. Realiza la gráfica de la función M en GeoGebra y marca sobre ella el punto correspondiente al valor de A encontrado. Adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cómo impactaría este nivel sísmico en la infraestructura de transporte urbano? Propón una medida de prevención justificada con los resultados obtenidos.

Ejercicio 5. Función cuadrática — situación integradora (video)

Nota: Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación más compleja del mismo escenario. Debes formular una estrategia, ejecutarla, verificar en Google Colab y sustentar todo el proceso en un video de máximo 4 minutos.

El sistema de transporte masivo registra el número de pasajeros h (en miles) que utilizan el servicio en función de la hora t del día. La cantidad de pasajeros está representada por la función:

h(t)=-5t^2+20t+2

I. Analiza la función cuadrática: ¿qué forma tiene?, ¿qué te indica el signo del coeficiente a sobre el comportamiento de la parábola (abre hacia arriba o hacia abajo)? ¿qué elementos necesitas encontrar (valor inicial, vértice, raíces, eje de simetría)? Formula tu estrategia: explica qué procedimiento algebraico usarás para hallar cada elemento y por qué es el pertinente. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: Calcula el valor inicial h(0), halla el vértice (punto máximo o mínimo) y determina las raíces de la función. Justifica cada operación e interpreta p y q en el contexto del escenario.

III. Verifica en Google Colab: a) Grafica h(t) en el intervalo 0≤t≤5, marcando el valor inicial, el vértice, las raíces y el eje de simetría. b) En la misma figura, grafica una segunda función h_2 (t)=-5t^2+20t+5 y explica qué efecto produce ese cambio sobre la gráfica y sobre el contexto real. Adjunta capturas de pantalla del código ejecutado y la gráfica generada. Luego interpreta: ¿en qué hora del día se alcanza el mayor flujo de pasajeros y qué tan amplia es esa ventana de alta demanda?

Nota. Para el desarrollo del punto III es necesario apoyarte en las indicaciones del Anexo 2 – Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 2.

IV. Graba un video de máximo 4 minutos. Presenta la situación del escenario, la estrategia que formulaste en el paso I (qué herramienta usaste en cada cálculo y por qué la elegiste), el procedimiento ejecutado en el paso II y una conclusión sobre lo que revelan los resultados matemáticos en el contexto real. Sigue las orientaciones del numeral 4.

ESCENARIO B

Agua, clima y producción

Región Andina – Huila y Tolima

Escenario

En el departamento del Huila, zona de gran riqueza hídrica y agrícola, los cambios en las temporadas de lluvia afectan directamente la producción de café, arroz y otros cultivos. Un grupo de investigadores del IDEAM y técnicos del sector agropecuario recogen datos sobre temperatura, niveles de agua y rendimientos productivos, y necesitan apoyo matemático para analizar e interpretar los modelos que rigen estos fenómenos naturales.

Tu reto

Representar y analizar con funciones lineales, racionales, a trozos, exponenciales, logarítmicas y cuadráticas las relaciones matemáticas presentes en los fenómenos climáticos, hídricos y productivos de la región, para interpretar comportamientos, identificar patrones y apoyar decisiones del sector agropecuario y ambiental del Huila y el Tolima.

Figura 2. 

Escenario B — Agua, clima y producción agrícola.

 

Nota. Escenario B — Agua, clima y producción agrícola. Región andina del Huila con cultivos de maíz y café bajo lluvia. Fuente autor.

Ejercicio 1. Función lineal y función racional

Un agrónomo monitorea el crecimiento de una nueva variedad de maíz cultivada en condiciones controladas. Se asume que el crecimiento es lineal durante las primeras semanas. Se registraron los siguientes datos:

Tabla 4. 

Días Vs Altura.

x = t: Días 2 4 6 8

y = H(t): Altura (cm) 7 13 19 25

Nota. Tabla de valores días vs altura. Fuente autor.

I. Analiza la situación: ¿qué relación matemática existe entre las variables de la tabla?, ¿se trata de una función lineal?, ¿cómo lo verificas con los datos? Formula tu estrategia: ¿qué fórmula usarás para hallar la ecuación y = mx + b y por qué es la pertinente en este caso? Explica antes de realizar cualquier cálculo.

II. Aplica tu estrategia paso a paso: usando dos puntos de la tabla, calcula la pendiente m y el intercepto b. Halla la ecuación y = mx + b. Explica qué significan m y b en este contexto con sus unidades. Luego a) Predice la altura del cultivo al día 12. b) Si la altura del cultivo fue de 46 cm, ¿cuántos días han pasado según la función?

III. Verifica en GeoGebra: ubica los cuatro puntos y traza la recta. Adjunta la captura de pantalla y comprueba que los valores calculados coincidan con la gráfica. Interpreta: ¿qué representa la pendiente en términos del crecimiento diario del cultivo? Como líder en tu comunidad, reflexiona sobre cómo este análisis puede apoyar a los agricultores locales para planificar mejor sus siembras.

Función racional:

La producción agrícola P en función de la lluvia r (cm) sigue el comportamiento racional: f(r) =  ((4r + 2) )/((r - 3))

IV. Analiza la función racional f(r) =  ((4r + 2) )/((r - 3)): ¿para qué valores de x está definida?, ¿qué ocurre en el valor que hace que el denominador sea cero? Formula tu estrategia para determinar el dominio y el rango. Luego aplícala, escribe el dominio y el rango en notación por intervalos y verifica graficando en GeoGebra. Adjunta la captura e interpreta el resultado en el contexto del escenario.

Ejercicio 2. Función definida a trozos

Durante un día de excursión en una zona del departamento del Huila, la temperatura T(t) en °C depende de la hora t (horas del día) y se define mediante la siguiente función a trozos:

T(x)={█(t² - 4t + 6   si  0 ≤ t ≤ 4@((t + 2))/((t - 6) )          si  4 < t < 8 @-0,5t + 10           si  t ≥ 8)┤

I. Analiza la función: ¿cuántas ramas tiene?, ¿qué condición determina cuál rama se aplica en cada valor de x? Identifica, antes de calcular, qué expresión corresponde a cada uno de los puntos t = 4, t = 5 y t = 8 y explica por qué esa rama es la pertinente en cada caso. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la expresión correspondiente a cada punto paso a paso y calcula sus coordenadas. Muestra el procedimiento completo con cada sustitución y operación justificada.

III. Representa la función completa en GeoGebra y adjunta la captura de pantalla. Verifica que los puntos calculados en el paso II coincidan con la gráfica. Luego interpreta: ¿qué comportamiento presenta T(t) en t = 6?, ¿qué significa matemáticamente ese valor en esa rama de la función? Relaciona tu respuesta con lo que ocurre meteorológicamente durante un día típico en la región del Huila.

Ejercicio 3. Función exponencial

Durante la fase inicial de un brote de una enfermedad en cultivos de café del Huila, los investigadores registran que el número de plantas afectadas crece exponencialmente:

I(t) = 50·e^((0,28t) ) donde t es el número de días desde el primer foco. Para calcular el número de plantas afectadas en 20 días, Natalia, estudiante de agronomía, realizó el siguiente procedimiento:

Procedimiento con errores:

I(20) = 50·e^((0,28 × 20) )= 50·e^5,6

e^5,6= 5,6  

I(20) = 50 × 5,6 = 280

Respuesta: En 20 días habrá 280 plantas afectadas.

I. Examina el procedimiento presentado línea por línea. Identifica cada error cometido y explica con precisión qué propiedad de las funciones exponenciales se violó en cada caso. Formula tu estrategia: ¿qué propiedades y fórmulas son las correctas para resolver este problema y por qué son pertinentes? No calcules aún: solo analiza, identifica y argumenta.

II. Aplica la estrategia formulada paso a paso. Muestra cada operación con su justificación y obtén la respuesta correcta.

III. Grafica la función exponencial en GeoGebra: marca el valor calculado sobre la gráfica y adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cuántas plantas están realmente afectadas en 20 días? Explica tu respuesta.

Ejercicio 4. Función logarítmica

El IDEAM monitorea los sismos en la región andina que podrían afectar la infraestructura de los distritos de riego. Usan la escala de Richter para clasificar los eventos: M=log₁₀((A )/(A₀)), donde A₀=1 μm.

Dato del escenario: 

El sismo de Popayán (Cauca, 1983) registró una magnitud M=5,6.

I. Analiza la función M=log₁₀((A )/(A₀)): ¿para qué valores de A está definida M?, ¿por qué el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo? Escribe el dominio en notación por comprensión. Luego formula tu estrategia: ¿qué propiedad de los logaritmos usarías para despejar A a partir del valor de M dado y por qué esa propiedad es la pertinente? No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: despeja A usando las propiedades de logaritmos, encuentra su valor numérico y realiza la conversión a metros. Muestra cada operación con su justificación.

III. Realiza la gráfica de la función M en GeoGebra y marca sobre ella el punto correspondiente al valor de A encontrado. Adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cómo podría un sismo de esta magnitud afectar los acueductos y distritos de riego de la región? Propón una medida preventiva.

Ejercicio 5. Función cuadrática — situación integradora

Nota: Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación más compleja del mismo escenario. Debes formular una estrategia, ejecutarla, verificar en Google Colab y sustentar todo el proceso en un video de máximo 4 minutos.

El área cultivada G (en metros cuadrados) de una finca del Huila en función del ancho x del terreno disponible para siembra está representada por la función:

G(x)=-x^2+12x-20

I. Analiza la función cuadrática: ¿qué forma tiene?, ¿qué te indica el signo del coeficiente a sobre el comportamiento de la parábola (abre hacia arriba o hacia abajo) ?, ¿qué elementos necesitas encontrar (valor inicial, vértice, raíces, eje de simetría)? Formula tu estrategia: explica qué procedimiento algebraico usarás para hallar cada elemento y por qué es el pertinente. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: Calcula el valor inicial G(0), halla el vértice (punto máximo o mínimo) y determina las raíces de la función. Justifica cada operación e interpreta p y q en el contexto del escenario.

III. Verifica en Google Colab: a) Grafica G(x) en un intervalo adecuado, marcando el valor inicial, el vértice, las raíces y el eje de simetría. b) En la misma figura, grafica una segunda función G_2 (x)=-x^2+12x-15 y explica qué efecto tiene cambiar el término independiente sobre la gráfica y sobre el contexto real. Adjunta capturas de pantalla del código ejecutado y la gráfica generada. Luego interpreta: ¿Cuál es el ancho del terreno que le permite al agricultor obtener la mayor área de cultivo posible? Explica tu respuesta.

Nota. Para el desarrollo del punto III es necesario apoyarte en las indicaciones del Anexo 2 – Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 2.

IV. Graba un video de máximo 4 minutos. Presenta la situación del escenario, la estrategia que formulaste en el paso I (qué herramienta usaste en cada cálculo y por qué la elegiste), el procedimiento ejecutado en el paso II y una conclusión sobre lo que revelan los resultados matemáticos en el contexto real. Sigue las orientaciones del numeral 4.

ESCENARIO C

Emprendimiento y economía local

Mercados y comercio – Colombia

Escenario

En Colombia, miles de jóvenes y familias desarrollan emprendimientos de pequeña escala: venta de alimentos, artesanías, plataformas digitales y servicios locales. Para tomar buenas decisiones de negocio necesitan comprender las relaciones matemáticas que gobiernan sus costos, ganancias y puntos de equilibrio. Tú eres el analista matemático que los va a apoyar.

Tu reto

Representar y analizar con funciones lineales, racionales, a trozos, exponenciales, logarítmicas y cuadráticas las relaciones matemáticas presentes en los costos, ganancias y dinámicas financieras de emprendedores colombianos, para interpretar comportamientos e identificar patrones que orienten decisiones de negocio sostenibles y rentables.

Figura 3. 

Escenario C — Emprendimiento y economía local.

 

Nota. Escenario C — Emprendimiento y economía local. Plaza de mercado colombiana con cuatro puntos. Fuente autor.

Ejercicio 1. Función lineal y función racional

En una academia de formación en línea se cobra una inscripción fija por acceder a la plataforma más un valor adicional por cada taller virtual al que se inscribe el usuario. Se registraron los siguientes datos:

Tabla 5. 

Talleres Vs Costo.

x: N.º de talleres 1 3 5 7

y = C(x): Costo (miles $) 22 46 70 94

Nota. Tabla de valores talleres vs costo. Fuente autor.

I. Analiza la situación: ¿qué relación matemática existe entre las variables de la tabla?, ¿se trata de una función lineal?, ¿cómo lo verificas con los datos? Formula tu estrategia: ¿qué fórmula usarás para hallar la ecuación y =mx + b y por qué es la pertinente en este caso? Explica antes de realizar cualquier cálculo.

II. Aplica tu estrategia paso a paso: usando dos puntos de la tabla, calcula la pendiente m y el intercepto b. Halla la ecuación y= mx + b. Explica qué significan m y b en este contexto con sus unidades. Luego a) Predice el costo para inscribirse a 8 talleres. b) Si el costo total fue de $130.000, ¿cuántos talleres se compraron?

III. Verifica en GeoGebra: ubica los cuatro puntos y traza la recta. Adjunta la captura de pantalla y comprueba que los valores calculados coincidan con la gráfica. Interpreta: ¿qué representa la pendiente en términos del costo por taller adicional? Explica tu respuesta.

Función racional:

La ganancia neta f(x) (en miles de pesos) de un vendedor de artesanías por cada lote vendido sigue el comportamiento racional f(x)=((x + 2))/((x - 3))  , donde x es el número de lotes.

IV. Analiza la función racional f(x)=((x + 2))/((x - 3)): ¿para qué valores de x está definida?, ¿qué ocurre en el valor que hace que el denominador sea cero? Formula tu estrategia para determinar el dominio y el rango. Luego aplícala, escribe el dominio y el rango en notación por intervalos y verifica graficando en GeoGebra. Adjunta la captura e interpreta el resultado en el contexto del escenario.

Ejercicio 2. Función definida a trozos

El costo mensual C(x) (en miles de pesos) de producción de una microempresa artesanal depende del número de unidades producidas x y se define mediante la siguiente función a trozos:

C(x)={█(x² + 5   si  0 ≤x ≤ 3@((x+1))/((x-4) )          si  3 <x < 6 @2x+1           si x≥ 6)┤

I. Analiza la función: ¿cuántas ramas tiene?, ¿qué condición determina cuál rama se aplica en cada valor de x? Identifica antes de calcular, qué expresión corresponde a cada uno de los puntos x = 3, x = 5 y x = 6 y explica por qué esa rama es la pertinente en cada caso. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la expresión correspondiente a cada punto paso a paso y calcula sus coordenadas. Muestra el procedimiento completo con cada sustitución y operación justificada.

III. Representa la función completa en GeoGebra y adjunta la captura de pantalla. Verifica que los puntos calculados en el paso II coincidan con la gráfica. Luego interpreta: ¿qué comportamiento presenta C(x) en x = 4?, ¿qué significa matemáticamente ese valor en esa rama de la función? Explica.

Ejercicio 3. Función exponencial

José desea comprar un vehículo de carga para su negocio que cuesta $60.000.000. Según información del mercado, el vehículo pierde su valor en un 18% por año. José calcula cuál será el valor del vehículo en 5 años de la siguiente manera:

Procedimiento:

V(t) = 60.000.000 × 〖(18%)〗^t

V(5) = 60.000.000 × 〖(0,18)〗^5

〖(0,18)〗^5  = 0,0001889568

V(5) = 60.000.000 × 0,0001889568 = 11.337,41

Respuesta: Después de 5 años el vehículo costará $60.000.000 - $11.337,41 = $58.866.259

I. Examina el procedimiento presentado línea por línea. Identifica cada error cometido y explica con precisión qué propiedad de las funciones exponenciales se violó en cada caso. Formula tu estrategia: ¿qué propiedades y fórmulas son las correctas para resolver este problema y por qué son pertinentes? No calcules aún: solo analiza, identifica y argumenta.

II. Aplica la estrategia formulada paso a paso. Muestra cada operación con su justificación y obtén la respuesta correcta.

III. Grafica la función exponencial en GeoGebra, marca el valor calculado sobre la gráfica y adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cuánto vale realmente el vehículo después de 5 años? Con base en el resultado correcto, ¿es conveniente para José comprar el vehículo o no? Justifica con los valores obtenidos.

Ejercicio 4. Función logarítmica

Un consultor de negocios monitorea vibraciones sísmicas en zonas donde se ubican bodegas y centros de distribución. Usa la escala de Richter para clasificar los eventos y evaluar riesgos: M = log₁₀((A )/(A₀)), donde A₀ = 1 μm.

Dato del escenario: 

El sismo de Murindó (Antioquia, 1992) registró una magnitud M = 7,1.

I. Analiza la función M = log₁₀((A )/(A₀)): ¿para qué valores de A está definida M?, ¿por qué el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo? Escribe el dominio en notación por comprensión. Luego formula tu estrategia: ¿qué propiedad de los logaritmos usarías para despejar A a partir del valor de M dado y por qué esa propiedad es la pertinente? No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: despeja A usando las propiedades de logaritmos, encuentra su valor numérico y realiza la conversión a metros. Muestra cada operación con su justificación.

III. Realiza la gráfica de la función M en GeoGebra y marca sobre ella el punto correspondiente al valor de A encontrado. Adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cómo podría un sismo de esta magnitud afectar la infraestructura de bodegas y centros comerciales? Explica tu respuesta.

Ejercicio 5. Función cuadrática — situación integradora

Nota: Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación más compleja del mismo escenario. Debes formular una estrategia, ejecutarla, verificar en Google Colab y sustentar todo el proceso en un video de máximo 4 minutos.

Una estudiante emprendedora vende empanadas en su universidad. Su ganancia diaria f (en miles de pesos) en función del número de empanadas vendidas x está representada por la función:

f(x)=-2x^2+20x

I. Analiza la función cuadrática: ¿qué forma tiene?, ¿qué te indica el signo del coeficiente a sobre el comportamiento de la parábola (abre hacia arriba o hacia abajo)? ¿qué elementos necesitas encontrar (valor inicial, vértice, raíces, eje de simetría)? Formula tu estrategia: explica qué procedimiento algebraico usarás para hallar cada elemento y por qué es el pertinente. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: calcula el valor inicial f(0), halla el vértice (punto máximo o mínimo) y determina las raíces de la función. Justifica cada operación e interpreta p y q en el contexto del escenario.

III. Verifica en Google Colab: a) Grafica f(x) en un intervalo adecuado, marcando el valor inicial, el vértice, las raíces y el eje de simetría. b) En la misma figura, grafica una segunda función f_2 (x)=-2x^2+20x+10 y explica qué efecto produce ese cambio sobre la gráfica y sobre el contexto real. Adjunta capturas de pantalla del código ejecutado y la gráfica generada. Luego interpreta: ¿cuántas empanadas debe vender para alcanzar la ganancia máxima y cuándo el negocio deja de ser rentable? Explica tu respuesta.

Nota. Para el desarrollo del punto III es necesario apoyarte en las indicaciones del Anexo 2 – Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 2.

IV. Graba un video de máximo 4 minutos. Presenta la situación del escenario, la estrategia que formulaste en el paso I (qué herramienta usaste en cada cálculo y por qué la elegiste), el procedimiento ejecutado en el paso II y una conclusión sobre lo que revelan los resultados matemáticos en el contexto real. Sigue las orientaciones del numeral 4.

ESCENARIO D

Salud pública y epidemiología

Sistema de salud – Colombia

Escenario

El sistema de salud colombiano enfrenta permanentemente situaciones que requieren análisis cuantitativo: brotes de enfermedades, consumo de medicamentos, seguimiento de indicadores epidemiológicos y planificación de recursos. Un grupo de epidemiólogos del INS (Instituto Nacional de Salud) necesita apoyo matemático para representar e interpretar los datos recolectados en campo.

Tu reto

Representar y analizar con funciones lineales, racionales, a trozos, exponenciales, logarítmicas y cuadráticas las relaciones matemáticas presentes en fenómenos de salud pública colombiana, para interpretar comportamientos, identificar patrones y apoyar la toma de decisiones en el sistema de salud.

Figura 4. 

Salud pública y epidemiológica.

 

Nota. Escenario D — Salud pública y epidemiología. Clínica comunitaria colombiana con servicio de telemedicina. Fuente autor.

Ejercicio 1. Función lineal y función racional

En una clínica, el costo mensual C(x) (en miles de pesos) del servicio de conectividad para telemedicina depende del consumo x en GB de datos. Se registraron los siguientes datos:

Tabla 6. 

Consumo Vs Costo.

x: GB de consumo 2 4 6 8

y = C(x): Costo (miles $) 5 8 11 14

Nota. Tabla de valores consumo vs costo. Fuente autor.

I. Analiza la situación: ¿qué relación matemática existe entre las variables de la tabla?, ¿se trata de una función lineal?, ¿cómo lo verificas con los datos? Formula tu estrategia: ¿qué fórmula usarás para hallar la ecuación y=mx + b y por qué es la pertinente en este caso? Explica antes de realizar cualquier cálculo.

II. Aplica tu estrategia paso a paso: usando dos puntos de la tabla, calcula la pendiente m y el intercepto b. Halla la ecuación y=mx + b. Explica qué significan m y b en este contexto con sus unidades. Luego a) Predice el costo para un consumo de 7,5 GB. b) Si la clínica dispone de $20.000, ¿cuántos GB puede usar?

III. Verifica en GeoGebra: ubica los cuatro puntos y traza la recta. Adjunta la captura de pantalla y comprueba que los valores calculados coincidan con la gráfica. Interpreta: ¿qué representa la pendiente en términos del costo por GB adicional? Si la clínica consume 10 GB al mes, ¿el costo calculado es accesible para una clínica rural? Justifique su respuesta y proponga un ajuste sencillo a la tarifa.

Función racional:

El nivel de saturación de camas hospitalarias en función de los pacientes atendidos sigue el comportamiento racional f(x)=((3x + 9) )/((x - 2))  

IV. Analiza la función racional f(x)=((3x + 9) )/((x - 2)): ¿para qué valores de x está definida?, ¿qué ocurre en el valor que hace que el denominador sea cero? Formula tu estrategia para determinar el dominio y el rango. Luego aplícala, escribe el dominio y el rango en notación por intervalos y verifica graficando en GeoGebra. Adjunta la captura e interpreta el resultado en el contexto del escenario.

Ejercicio 2. Función definida a trozos

El consumo eléctrico E(k) (en kWh) de una clínica de salud depende del número de pacientes k atendidos diariamente y se define mediante la siguiente función a trozos:

E(k)={█(k² + 10    Si   1 ≤ k ≤ 4@((k + 4))/((k - 5))    Si   4 < k < 7@5k - 10     Si   k ≥ 7)┤

I. Analiza la función: ¿cuántas ramas tiene?, ¿qué condición determina cuál rama se aplica en cada valor de x? Identifica, antes de calcular, qué expresión corresponde a cada uno de los puntos k = 4, k = 6 y k = 7 y explica por qué esa rama es la pertinente en cada caso. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la expresión correspondiente a cada punto paso a paso y calcula sus coordenadas. Muestra el procedimiento completo con cada sustitución y operación justificada.

III. Representa la función completa en GeoGebra y adjunta la captura de pantalla. Verifica que los puntos calculados en el paso II coincidan con la gráfica. Luego interpreta: ¿qué comportamiento presenta E(k) en k=5?, ¿qué significa matemáticamente ese valor en esa rama de la función? Explica.

Ejercicio 3. Función exponencial

Durante la fase inicial de un brote de COVID-19 en una ciudad colombiana, los investigadores registran que el número de personas infectadas crece según el modelo 

I(t)=50·e^((0,28t))  donde t es el tiempo en días. Para calcular el número de infectados en 20 días, Natalia, estudiante de química, realizó el siguiente procedimiento:

Procedimiento:

I(20) = 50·e^((0,28 × 20))  = 50·e^5,6

e^5,6  = 5,6 

I(20) = 50 × 5,6 = 280

Respuesta: En 20 días habrá 280 infectados.

I. Examina el procedimiento presentado línea por línea. Identifica cada error cometido y explica con precisión qué propiedad de las funciones exponenciales se violó en cada caso. Formula tu estrategia: ¿qué propiedades y fórmulas son las correctas para resolver este problema y por qué son pertinentes? No calcules aún: solo analiza, identifica y argumenta.

II. Aplica la estrategia formulada paso a paso. Muestra cada operación con su justificación y obtén la respuesta correcta.

III. Grafica la función exponencial en GeoGebra, marca el valor calculado sobre la gráfica y adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cuántas personas estarán realmente infectadas en 20 días? ¿Qué acciones de salud pública se justifican ante este ritmo de crecimiento? Explica tu respuesta.

Ejercicio 4. Función logarítmica

Los epidemiólogos también monitorean eventos sísmicos que pueden afectar hospitales en zonas de riesgo. Usan la escala de Richter para clasificarlos: M=log₁₀(A/(A₀)  ), donde A₀=1 μm.

Dato del escenario: 

El sismo del Eje Cafetero (1999) registró una magnitud M=6,1.

I. Analiza la función M=log₁₀(A/(A₀)  ): ¿para qué valores de A está definida M?, ¿por qué el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo? Escribe el dominio en notación por comprensión. Luego formula tu estrategia: ¿qué propiedad de los logaritmos usarías para despejar A a partir del valor de M dado y por qué esa propiedad es la pertinente? No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: despeja A usando las propiedades de logaritmos, encuentra su valor numérico y realiza la conversión a metros. Muestra cada operación con su justificación.

III. Realiza la gráfica de la función M en GeoGebra y marca sobre ella el punto correspondiente al valor de A encontrado. Adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cómo podría un sismo de esta magnitud afectar la operación de hospitales y centros de salud? Explica tu respuesta.

Ejercicio 5. Función cuadrática — situación integradora

Nota: Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación más compleja del mismo escenario. Debes formular una estrategia, ejecutarla, verificar en Google Colab y sustentar todo el proceso en un video de máximo 4 minutos.

El número de pacientes C que visitan diariamente una clínica comunitaria en función de la hora x del día está representado por la función:

C(x)=x^2-8x+25

I. Analiza la función cuadrática: ¿qué forma tiene?, ¿qué te indica el signo del coeficiente a sobre el comportamiento de la parábola (abre hacia arriba o hacia abajo)? ¿qué elementos necesitas encontrar (valor inicial, vértice, raíces, eje de simetría)? Formula tu estrategia: explica qué procedimiento algebraico usarás para hallar cada elemento. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: calcula el valor inicial C(0), halla el vértice (punto máximo o mínimo) y determina las raíces de la función. Justifica cada operación e interpreta p y q en el contexto del escenario.

III. Verifica en Google Colab: a) Grafica C(x) en el intervalo 0≤x≤8, marcando el valor inicial, el vértice, las raíces y el eje de simetría. b) En la misma figura, grafica una segunda función C_2 (x)=x^2-8x+20 y explica qué efecto produce ese cambio sobre la gráfica y sobre el contexto real. Adjunta capturas de pantalla del código ejecutado y la gráfica generada. Luego interpreta: ¿En qué hora del día se atiende el mayor número de pacientes y cuántos pacientes llegan en ese momento pico? Explica tu respuesta.

Nota. Para el desarrollo del punto III es necesario apoyarte en las indicaciones del Anexo 2 – Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 2.

IV. Graba un video de máximo 4 minutos. Presenta la situación del escenario, la estrategia que formulaste en el paso I (qué herramienta usaste en cada cálculo y por qué la elegiste), el procedimiento ejecutado en el paso II y una conclusión sobre lo que revelan los resultados matemáticos en el contexto real. Sigue las orientaciones del numeral 4.

ESCENARIO E

Tecnología y conectividad

Sector digital – Colombia

Escenario

Colombia avanza hacia la digitalización de sus servicios y economía. Sin embargo, persisten brechas de conectividad, especialmente en zonas rurales y municipios pequeños. Un equipo de analistas del MinTIC (Ministerio de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones) necesita apoyo matemático para representar e interpretar el consumo de datos, los costos de los planes digitales y los comportamientos de usuarios en la era de la conectividad.

Reto

Representar y analizar con funciones lineales, racionales, a trozos, exponenciales, logarítmicas y cuadráticas las relaciones matemáticas presentes en el consumo digital y los costos de conectividad, para interpretar comportamientos, identificar patrones y proponer soluciones que contribuyan a reducir la brecha tecnológica en Colombia.

Figura 5. 

Sector digital de Colombia.

 

Nota. Escenario E — Tecnología y conectividad digital. Centro de datos con rack de servidores. Fuente autor.

Ejercicio 1. Función lineal y función racional

Un operador de telefonía móvil ofrece un plan con cuota fija más costo variable por GB de consumo. Un usuario estudiante registra los siguientes datos de su facturación mensual:

Tabla 7. 

GB de Consumo Vs Costo.

x: GB de consumo 2 4 6 8

y = C(x): Costo (miles $) 5 8 11 14

Nota. Tabla de valores GB de consumo vs costo. Fuente autor.

I. Analiza la situación: ¿qué relación matemática existe entre las variables de la tabla?, ¿se trata de una función lineal?, ¿cómo lo verificas con los datos? Formula tu estrategia: ¿qué fórmula usarás para hallar la ecuación y=mx+b y por qué es la pertinente en este caso? Explica antes de realizar cualquier cálculo.

II. Aplica tu estrategia paso a paso: usando dos puntos de la tabla, calcula la pendiente m y el intercepto b. Halla la ecuación y=mx+b. Explica qué significan m y b en este contexto con sus unidades. Luego a) Predice el costo para un consumo de 7,5 GB. b) Si el usuario dispone de $20.000, ¿cuántos GB puede usar?

III. Verifica en GeoGebra: ubica los cuatro puntos y traza la recta. Adjunta la captura de pantalla y comprueba que los valores calculados coincidan con la gráfica. Interpreta: ¿qué representa la pendiente en términos del costo por GB adicional? ¿Es equitativo este costo para estudiantes que requieren conectividad para estudiar? Explica tu respuesta.

Función racional:

La velocidad de descarga f (en Mbps) en función del número de usuarios simultáneos x conectados a una red sigue el comportamiento racional f(x)=((3x + 6))/((2x - 1))

IV. Analiza la función racional f(x)=((3x + 6))/((2x - 1)): ¿para qué valores de x está definida?, ¿qué ocurre en el valor que hace que el denominador sea cero? Formula tu estrategia para determinar el dominio y el rango. Luego aplícala, escribe el dominio y el rango en notación por intervalos y verifica graficando en GeoGebra. Adjunta la captura e interpreta el resultado en el contexto del escenario.

Ejercicio 2. Función definida a trozos

El nivel de agua N(t) (en litros) en el tanque de enfriamiento de un data center varía con el tiempo t (en horas) y se define mediante la siguiente función a trozos:

N(t)={█(t² + 2t    Si    0 ≤ t ≤ 3@((t + 1))/((t - 4))    Si    3 < t < 6@2t + 16   Si   t ≥ 6)┤

I. Analiza la función: ¿cuántas ramas tiene?, ¿qué condición determina cuál rama se aplica en cada valor de x? Identifica, antes de calcular, qué expresión corresponde a cada uno de los puntos t = 3, t = 5 y t = 6 y explica por qué esa rama es la pertinente en cada caso. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la expresión correspondiente a cada punto paso a paso y calcula sus coordenadas. Muestra el procedimiento completo con cada sustitución y operación justificada.

III. Representa la función completa en GeoGebra y adjunta la captura de pantalla. Verifica que los puntos calculados en el paso II coincidan con la gráfica. Luego interpreta: ¿qué comportamiento presenta N(t) en t = 4?, ¿qué significa matemáticamente ese valor en esa rama de la función? Explica tu respuesta.

Ejercicio 3. Función exponencial

Un frasco de límpido de 81 ml se usa para limpiar los servidores de una sala técnica. Cada vez que se usa, queda un tercio del límpido que había antes. El modelo es: L(x)=81·(1/3)^x, donde x es el número de usos. Un técnico calcula cuánto límpido queda después de 4 usos así:

Procedimiento:

L(4) = 81·(1/3)^4

(1/3)^4  = 4/3   

L(4) = 81 × (4/3)  = 108 ml

Respuesta: Después de 4 usos quedan 108 ml.

I. Examina el procedimiento presentado línea por línea. Identifica cada error cometido y explica con precisión qué propiedad de las funciones exponenciales se violó en cada caso. Formula tu estrategia: ¿qué propiedades y fórmulas son las correctas para resolver este problema y por qué son pertinentes? No calcules aún: solo analiza, identifica y argumenta.

II. Aplica la estrategia formulada paso a paso. Muestra cada operación con su justificación y obtén la respuesta correcta.

III. Grafica la función exponencial en GeoGebra, marca el valor calculado sobre la gráfica y adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cuánto límpido queda realmente después de 4 usos? ¿Cuántos usos más podría tener el frasco antes de agotarse? Explica tu respuesta.

Ejercicio 4. Función logarítmica

Los ingenieros de telecomunicaciones monitorean vibraciones sísmicas que podrían afectar la infraestructura digital: torres de antenas, centros de datos y cables de fibra óptica. Usan la escala de Richter: M=log₁₀(A/(A₀)  ), donde A₀=1 μm.

Dato del escenario: 

El sismo de Quetame (Cundinamarca, 2008) registró una magnitud M = 5,9.

I. Analiza la función M=log₁₀(A/(A₀)  ): ¿para qué valores de A está definida M?, ¿por qué el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo? Escribe el dominio en notación por comprensión. Luego formula tu estrategia: ¿qué propiedad de los logaritmos usarías para despejar A a partir del valor de M dado y por qué esa propiedad es la pertinente? No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: despeja A usando las propiedades de logaritmos, encuentra su valor numérico y realiza la conversión a metros. Muestra cada operación con su justificación.

III. Realiza la gráfica de la función M en GeoGebra y marca sobre ella el punto correspondiente al valor de A encontrado. Adjunta la captura de pantalla. Luego interpreta el resultado en el contexto del escenario: ¿cómo podría un sismo de esta magnitud afectar la infraestructura de telecomunicaciones? Explica tu respuesta.

Ejercicio 5. Función cuadrática — situación integradora (video)

Nota: Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación más compleja del mismo escenario. Debes formular una estrategia, ejecutarla, verificar en Google Colab y sustentar todo el proceso en un video de máximo 4 minutos.

El ancho visible W (en centímetros) de una imagen en una animación digital en función del tiempo t (en segundos) está representado por la función:

W(t)=-t^2+6t+7

I. Analiza la función cuadrática: ¿qué forma tiene?, ¿qué te indica el signo del coeficiente a sobre el comportamiento de la parábola (abre hacia arriba o hacia abajo)? ¿qué elementos necesitas encontrar (valor inicial, vértice, raíces, eje de simetría)? Formula tu estrategia: explica qué procedimiento algebraico usarás para hallar cada elemento y por qué es el pertinente. No calcules aún: solo analiza y argumenta.

II. Aplica la estrategia paso a paso: calcula el valor inicial W(0), halla el vértice (punto máximo o mínimo) y determina las raíces de la función. Justifica cada operación e interpreta p y q en el contexto del escenario.

III. Verifica en Google Colab: a) Grafica W(t) en el intervalo 0≤t≤8, marcando el valor inicial, el vértice, las raíces y el eje de simetría. b) En la misma figura, grafica una segunda función W_2 (t)=-t^2+6t+10 y explica qué efecto produce ese cambio sobre la gráfica y sobre el contexto real. Adjunta capturas de pantalla del código ejecutado y la gráfica generada. Luego interpreta: ¿En qué momento la imagen alcanza su mayor ancho visible? Explica tu respuesta.

Nota. Para el desarrollo del punto III es necesario apoyarte en las indicaciones del Anexo 2 – Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 2.

IV. Graba un video de máximo 4 minutos. Presenta la situación del escenario, la estrategia que formulaste en el paso I (qué herramienta usaste en cada cálculo y por qué la elegiste), el procedimiento ejecutado en el paso II y una conclusión sobre lo que revelan los resultados matemáticos en el contexto real. Sigue las orientaciones del numeral 4.

Información y orientación adicional

Si deseas obtener información y orientación adicional sobre el desarrollo de las actividades, puedes comunicarte a través de WhatsApp:

WhatsApp: (+57) 3138743342

Enlace: https://wa.link/tvyonr

Nota: La información publicada en este sitio no sustituye las orientaciones oficiales de la UNAD. Se recomienda verificar siempre las instrucciones, fechas y criterios de evaluación directamente en los espacios institucionales correspondientes.

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