CÁLCULO DIFERENCIAL - (100410D_2204)

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Anexo 3 – Situaciones Reto 3 - Resolución de problemas con límites y continuidad

Estructura de las situaciones

Cada situación contiene cinco ejercicios. Los ejercicios 1 a 5 trabajan los cinco contenidos del RAC 3 y siguen la misma lógica en tres momentos: primero analizas el problema y formulas tu estrategia (sin calcular aún), luego la ejecutas paso a paso el desarrollo y finalmente verificas e interpretas el resultado en el contexto de la situación. El ejercicio 5 integra la continuidad de funciones a trozos, se ejecuta con Google Colab y GeoGebra, y se sustenta en un video corto.

Recuerda: El valor de tu aprendizaje está en lo que construyes con tu propio esfuerzo y pensamiento. Si usas herramientas de inteligencia artificial, hazlo de forma responsable: cita los referentes utilizados, verifica la información y deja siempre visible tu propio proceso de argumentación.

SITUACIÓN A

Monitoreo de señales

La Guajira – Centro de control solar y eólico

Situación: 

Una planta de energía renovable ubicada en La Guajira, Colombia, integra paneles solares y aerogeneradores para suministrar electricidad a comunidades rurales. El centro de control recibe en tiempo real señales matemáticas que representan la potencia generada (en kW) como función del tiempo (en horas). Estas señales cambian de comportamiento en ciertos momentos del día, al amanecer, durante nubes o ráfagas de viento y al atardecer generando inestabilidades en la red eléctrica. Como analista cuantitativo del equipo de ingeniería, tu misión es estudiar el comportamiento matemático de esas señales para detectar puntos críticos y garantizar la continuidad del suministro eléctrico.

Tu reto:  

Formular y ejecutar una estrategia basada en límites y continuidad para analizar el comportamiento de las señales de producción energética en los instantes de transición, estimar su tendencia a largo plazo, interpretar los límites trigonométricos del sistema de control y determinar si las señales son continuas en los puntos críticos para garantizar la estabilidad del suministro.

Figura 1. 

Planta de energía renovable en La Guajira.

 

Nota. Planta de energía renovable en La Guajira: paneles solares, aerogeneradores y el centro de control que registra la señal de potencia f(x) en función del tiempo. Fuente IA Claude.

📐 Ejercicio 1 – Límites laterales

Contexto:  Los sensores del centro de control registran la potencia generada como una función a trozos cuya expresión matemática cambia en los instantes de transición entre los regímenes de generación solar y eólico. El equipo necesita determinar si la señal de potencia tiene un valor de referencia bien definido en esos instantes de transición.

Tabla 2. 

Límites a calcular en la función dada.

Función asignada f(x) Límites a calcular en los puntos de transición

f(x)={■(x^4+2x-1&"si " x≤-1@x^3+1&"si " -1<x<2@2x+5&"si " x≥2)┤

(lim)┬(x→-1^- )⁡f(x)

(lim)┬(x→-1^+ )⁡f(x)

(lim)┬(x→2^- )⁡f(x)

(lim)┬(x→2^+ )⁡f(x)

Nota. Límites a calcular en la función dada. Fuente autor.

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular, responde: ¿Qué expresión de la función aplica en cada lado del punto de transición? ¿Qué establece la definición de límite lateral sobre la existencia del límite? ¿Cuándo existe el límite en un punto y cuándo no? Escribe tu estrategia antes de operar.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Calcula analíticamente los cuatro límites laterales de la tabla para el literal asignado, mostrando el procedimiento completo con el editor de ecuaciones de Word.

Grafica la función a trozos en GeoGebra, observa el comportamiento en cada punto de transición e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coinciden los límites laterales calculados analíticamente con lo observado en GeoGebra? Explica la coincidencia o discrepancia.

¿Existe el límite en cada punto? Justifica usando la condición 

lim┬(x→a^- )⁡f(x)=lim┬(x→a^+ )⁡f(x)

Con base en los resultados, ¿consideras que la señal de potencia es estable en los instantes de transición? Explica.

📐 Ejercicio 2 – Límites indeterminados (forma 0/0)

Contexto:  Durante el análisis de la señal de potencia, el equipo identifica un instante donde la función de la señal presenta la forma indeterminada 0/0. El valor exacto del límite en ese instante determina si el sistema puede operar sin interrupciones en ese momento crítico.

Límite a calcular (verificar primero que es de la forma 0/0)

(lim )┬(x→-3 )⁡〖(x^2-x-12)/(x^2+2x-3)〗

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: sustituye el valor indicado para confirmar la forma 0/0. Identifica qué técnica algebraica (factorización, racionalización u otra) elimina la indeterminación y explica por qué es la más adecuada para este caso antes de aplicarla.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Aplica la técnica seleccionada paso a paso y calcula el límite.

Justifica por escrito la técnica utilizada y por qué resuelve la indeterminación.

Verifica gráficamente con GeoGebra e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coincide el valor calculado con el comportamiento gráfico observado en GeoGebra?

¿Qué conclusión puedes sacar del hecho de que el límite exista aunque la expresión directa sea indeterminada? ¿Coincide ese valor con el que muestra GeoGebra? Justifica tu respuesta.

📐 Ejercicio 3 – Límites al infinito (Google Colab + GeoGebra)

Contexto:  El equipo de ingeniería necesita proyectar el comportamiento de la señal de potencia cuando el tiempo crece indefinidamente, para estimar si el sistema tenderá a estabilizarse en un nivel de generación constante, a crecer sin control o a reducirse hasta cero con el paso del tiempo.

Función f(x). Calcular  〖lim〗_(x→∞)⁡f(x)

f(x)=(5x^7-3x^4+2)/(2x^5+9)

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: identifica los términos dominantes del numerador y del denominador cuando x → ∞. Predice el valor del límite (¿tiende a cero, a una constante, o a infinito?) y explica la estrategia analítica que usarás.

II.  Ejecuta el procedimiento:

A – GeoGebra:  

Grafica f(x) en GeoGebra, observa el comportamiento cuando x crece e incluye captura de pantalla.

B – Cálculo analítico:  

Calcula lím x→∞ f(x) de manera analítica sin la Regla de L'Hôpital, mostrando el procedimiento completo con los términos dominantes identificados.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? ¿Coinciden el resultado analítico y el de GeoGebra? Explica brevemente.

¿Hacia dónde tiende la función cuando x crece indefinidamente? ¿Existe una asíntota horizontal? ¿Qué dice ese resultado sobre el comportamiento a largo plazo de la señal de potencia?

📐 Ejercicio 4 – Límites trigonométricos

Contexto:  Los sensores del sistema de control registran razones de cambio angular de los aerogeneradores y variaciones de atenuación de la señal solar. Estas razones se expresan como funciones trigonométricas que se analizan para ángulos o parámetros muy pequeños, lo que permite afinar la sensibilidad del sistema de control energético.

🔍 Pregunta orientadora general: ¿Cuál es el valor límite de la función que modela las señales del sistema cuando el ángulo o parámetro de control tiende a cero? ¿Qué implica ese valor para la precisión del sistema de generación?

Instrucción: Resolver el ejercicio sin usar la Regla de L'Hôpital. Indicar el teorema o identidad trigonométrica aplicada.

🌬️ Ángulo de inclinación de los aerogeneradores

El sistema de control mide la razón de giro angular de las aspas del aerogenerador en función de un ángulo de orientación θ muy pequeño. La función que modela esta razón es:  R(θ)=tan⁡(3θ)/sen(5θ)  Calcular:  lim┬(θ→0)⁡〖tan⁡(3θ)/sen(5θ) 〗

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: ¿Qué forma tiene el límite? ¿Qué identidad o teorema trigonométrico reconoces que permite resolverlo? Explica tu plan.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Resuelve el límite paso a paso indicando la identidad o el teorema aplicado en cada paso.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? Enuncia el valor obtenido.

¿Qué indica el valor obtenido sobre el comportamiento del sistema cuando el ángulo de ajuste es muy pequeño? Explica con tus propias palabras.

📐 Ejercicio 5 – Continuidad de funciones 

Nota: 

Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación particular. Debes formular una estrategia, ejecutarla con Google Colab, interpretar los resultados y sustentar el proceso completo en un video de máximo 4 minutos.

Contexto:  El equipo del centro de control debe verificar si las funciones a trozos que modelan la señal de potencia en diferentes intervalos del día son continuas en los instantes de transición. Una discontinuidad en la señal puede significar un corte abrupto en el suministro, un pico de tensión peligroso o un fallo del sistema de control que afecte a las comunidades.

La señal de potencia se modela mediante la siguiente función a trozos:

f(x)={■(2x+1&"si " x<1@x^2+1&"si " 1≤x<3@x+7&"si " x≥3)┤

Donde x representa el tiempo o instante de transición de la señal.

Los puntos de análisis son: x=1 y x=3

🔍 Pregunta orientadora: ¿La función que modela la señal de potencia es continua en los instantes de transición x=1 y x=3? Si no lo es, ¿qué tipo de discontinuidad presenta y qué podría significar en el contexto del sistema?

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Para cada punto de transición, x=1 y x=3, verifique los tres requisitos de continuidad:

f(a) está definida.

Existe el límite:

lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗

El límite coincide con el valor de la función: 

lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=f(a)

A partir de estos tres requisitos, determine si la función es continua o discontinua en x=1 y en x=3. Incluya el desarrollo manual de los límites laterales, el valor de la función en cada punto y la conclusión correspondiente.

II.  Ejecuta con Google Colab:

Con base en las indicaciones del Anexo 4 - Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 3, escribe y ejecuta el código necesario para generar la gráfica de la función a trozos en un intervalo adecuado, por ejemplo: -2≤x≤6.

En la gráfica debe marcar:

los tres tramos de la función; 

los puntos abiertos y cerrados en x=1; 

los puntos abiertos y cerrados en x=3. 

Inserte en el documento una captura de pantalla donde se observe el código ejecutado y la gráfica generada.

III.  Verifica e interpreta:

Compare el resultado gráfico con el análisis manual y responda:

¿Es la función continua en x=1 "y" x=3? Para cada punto, verifica explícitamente los tres requisitos de la definición y concluye si la función es continua o discontinua.

Si hay discontinuidad, indique si es de salto o removible.

¿Qué podría representar una discontinuidad en el contexto dado? Explica tu respuesta.

Finalmente, grabe un video de sustentación de máximo 4 minutos, en el que explique el procedimiento realizado, la gráfica obtenida en Google Colab y la interpretación del resultado en el contexto dado.

SITUACIÓN B

Análisis de caudales en una cuenca hidrográfica

Cuenca del río Cauca – Estación de monitoreo hídrico (CVC)

Situación:  

La Corporación Autónoma Regional del Valle del Cauca (CVC) opera una red de estaciones de monitoreo hídrico en la cuenca del río Cauca. Cada estación mide el caudal (en m³/s) como función del tiempo y registra los cambios bruscos que ocurren durante episodios de lluvia intensa, estiaje o apertura de compuertas. Estas variaciones se modelan con funciones matemáticas a trozos que el equipo técnico debe analizar para anticipar inundaciones, gestionar el riego y tomar decisiones de contingencia. Como analista cuantitativo del equipo de la CVC, tu misión es examinar el comportamiento del caudal en sus puntos críticos.

Tu reto:  

Formular y ejecutar una estrategia basada en límites y continuidad para estimar el comportamiento del caudal en los instantes de transición entre regímenes hídricos, proyectar su tendencia a largo plazo, interpretar los límites trigonométricos de los instrumentos de medición y determinar si la función del caudal es continua en los puntos críticos para anticipar situaciones de riesgo hídrico.

Figura 2. 

Estación de monitoreo hídrico en la cuenca del río Cauca.

 

Nota. Estación de monitoreo hídrico en la cuenca del río Cauca (CVC): el caudal Q(t) se modela como una función a trozos. Fuente IA Claude.

📐 Ejercicio 1 – Límites laterales

Contexto:  Las estaciones de monitoreo registran el caudal del río como una función a trozos cuya expresión cambia según el régimen hídrico del momento: lluvia intensa, estiaje o apertura de compuertas. El equipo necesita saber si el caudal tiene un valor bien definido en los instantes de transición entre estos regímenes.

Tabla 3. 

Límites a calcular en la función dada.

Función asignada f(x) Límites a calcular en los puntos de transición

f(x)={■(x^2-2&"si " x≤-5@x^2+2&"si " -5<x<-1@x+1&"si " x≥-1)┤

lim┬(x→-5^- )⁡f(x)

lim┬(x→-5^+ )⁡f(x)

lim┬(x→-1^- )⁡f(x)

lim┬(x→-1^+ )⁡f(x)

Nota. Límites a calcular en la función dada. Fuente autor.

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular, responde: ¿Qué expresión de la función aplica en cada lado del punto de transición? ¿Qué establece la definición de límite lateral sobre la existencia del límite? ¿Cuándo existe el límite en un punto de transición y cuándo no? Escribe tu estrategia antes de operar.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Calcula analíticamente los cuatro límites laterales de la tabla para el literal asignado, mostrando el procedimiento completo con el editor de ecuaciones de Word.

Grafica la función a trozos en GeoGebra, observa el comportamiento en cada punto de transición e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coinciden los límites laterales calculados analíticamente con lo observado en GeoGebra? Explica la coincidencia o discrepancia.

¿Existe el límite en cada punto de transición? Justifica usando la condición lim┬(x→a^- )⁡f(x)=lim┬(x→a^+ )⁡f(x)

Con base en los resultados, ¿el caudal del río tiene un comportamiento estable en los instantes de transición? Justifica tu respuesta.

📐 Ejercicio 2 – Límites indeterminados (forma 0/0)

Contexto:  Durante el análisis de los datos de caudal, el equipo identifica un instante donde la función del caudal presenta la forma indeterminada 0/0. El valor exacto del límite en ese instante es crucial para tomar decisiones de contingencia y gestión del riesgo.

Límite a calcular (verificar primero que es de la forma 0/0)

lim┬(x→7)⁡〖(√(x+9)-4)/(√(x-4)-√3)〗

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: sustituye el valor indicado para confirmar la forma 0/0. Identifica qué técnica algebraica (factorización, racionalización u otra) elimina la indeterminación y explica por qué es la más adecuada para este caso antes de aplicarla.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Aplica la técnica seleccionada paso a paso y calcula el límite.

Justifica por escrito la técnica utilizada y por qué resuelve la indeterminación.

Verifica gráficamente con GeoGebra e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coincide el valor calculado con el comportamiento gráfico observado en GeoGebra?

¿Qué conclusión puedes sacar del hecho de que el límite exista aunque la expresión directa sea indeterminada? ¿Coincide ese valor con el que muestra GeoGebra? Justifica tu respuesta.

📐 Ejercicio 3 – Límites al infinito (Google Colab + GeoGebra)

Contexto:  El equipo necesita proyectar el comportamiento del caudal cuando el tiempo crece indefinidamente, para evaluar si el río tenderá a estabilizarse en un caudal base ecológico, aumentará sin control generando riesgo de desbordamiento, o se reducirá hasta la sequía.

Función f(x). Calcular  〖lim〗_(x→∞)⁡f(x)

f(x)=x(x-1)(x+3)/(x+2)(2x+1)(-x+5) 

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: identifica los términos dominantes del numerador y del denominador cuando x → ∞. Predice el valor del límite (¿tiende a cero, a una constante, o a infinito?) y explica la estrategia analítica que usarás.

II.  Ejecuta el procedimiento:

A – GeoGebra:  

Grafica f(x) en GeoGebra, observa el comportamiento cuando x crece e incluye captura de pantalla.

B – Cálculo analítico:  

Calcula lim┬(x→∞)⁡f(x) de manera analítica sin la Regla de L'Hôpital, mostrando el procedimiento completo con los términos dominantes identificados.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? ¿Coinciden el resultado analítico y el de GeoGebra? Explica brevemente.

¿Hacia dónde tiende la función cuando x crece indefinidamente? ¿Existe una asíntota horizontal? ¿Qué dice ese resultado sobre el comportamiento a largo plazo del caudal?

📐 Ejercicio 4 – Límites trigonométricos

Contexto:  El sistema de monitoreo hídrico también analiza funciones trigonométricas que modelan la variación angular de los sensores de flujo, la relación entre la apertura de compuertas y el caudal descargado, y la atenuación de las señales acústicas de los medidores ultrasónicos de caudal.

Instrucción: Resolver el ejercicio sin usar la Regla de L'Hôpital. Indicar el teorema o identidad trigonométrica aplicada.

🌊 Atenuación de la señal sensor ultrasónico de caudal.

El sensor ultrasónico de caudal calcula la relación de atenuación de la señal acústica en función de la desviación angular θ del haz ultrasónico. La función que modela esta relación es:  L(θ)=(1-cos⁡θ)/(sen^2 θ) Calcular:  lim┬(θ→0)⁡〖(1-cos⁡θ)/(sen^2 θ)〗

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: ¿Qué forma tiene el límite? ¿Qué identidad o teorema trigonométrico reconoces que permite resolverlo? Explica tu plan.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Resuelve el límite paso a paso indicando la identidad o el teorema aplicado en cada paso.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? Enuncia el valor obtenido.

¿Qué indica el valor obtenido sobre el comportamiento del sistema cuando el ángulo es muy pequeño? Explica con tus propias palabras.

📐 Ejercicio 5 – Continuidad de funciones 

Nota: 

Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación particular. Debes formular una estrategia, ejecutarla con Google Colab, interpretar los resultados y sustentar el proceso completo en un video de máximo 4 minutos.

Contexto:  El equipo de la CVC debe verificar si las funciones a trozos que modelan el caudal en diferentes regímenes hídricos son continuas en los instantes de transición. Una discontinuidad puede indicar un cambio abrupto en el flujo una apertura brusca de compuerta o una crecida súbita que el sistema debe detectar y reportar de inmediato para activar protocolos de alerta.

La función que modela el caudal está dada por:

f(x)={■(3x+2&"si " x<-1@x^2&"si -" 1≤x<2@x+2&"si " x≥2)┤

Donde x representa el instante de transición entre regímenes hídricos.

Los puntos de análisis son: x=-1 y x=2

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Para cada punto de transición, x=-1 y x=2, verifique los tres requisitos de continuidad:

f(a) está definida.

Existe el límite:

lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗

El límite coincide con el valor de la función: 

lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=f(a)

A partir de estos tres requisitos, determine si la función es continua o discontinua en x=-1 y en x=2. Incluya el desarrollo manual de los límites laterales, el valor de la función en cada punto y la conclusión correspondiente.

II.  Ejecuta con Google Colab (Gráfica de la función a trozos):  

Con base en las indicaciones del Anexo 4 - Orientaciones para el uso de Google Colab Reto 3, escriba y ejecute el código necesario para generar la gráfica de la función a trozos en un intervalo adecuado, por ejemplo: -4≤x≤5.

En la gráfica debe marcar:

los tres tramos de la función; 

los puntos abiertos y cerrados en x=-1 

los puntos abiertos y cerrados en x=2. 

Inserte en el documento una captura de pantalla donde se observe el código ejecutado y la gráfica generada.

III.  Verifica e interpreta:

¿Es la función continua en x=-1 "y" x=2? Para cada punto, verifica explícitamente los tres requisitos de la definición y concluye si la función es continua o discontinua.

Si hay discontinuidad, indique si es de salto o removible.

¿Qué podría representar una discontinuidad en el contexto dado? Explica tu respuesta.

Finalmente, grabe un video de sustentación de máximo 4 minutos, en el que explique el procedimiento realizado, la gráfica obtenida en Google Colab y la interpretación del resultado en el contexto dado.

SITUACIÓN C

Control de calidad en una línea de producción industrial

Planta de manufactura de dispositivos electrónicos

Bogotá, Colombia

Situación:  

Una planta de manufactura de dispositivos electrónicos en Bogotá opera tres turnos de producción continuos. Los sensores de calidad registran un parámetro clave: Temperatura del proceso, tensión eléctrica aplicada o tiempo de soldadura, como función continua del tiempo. Cuando ocurre un cambio de turno, un ajuste de máquina o una falla de material, la función del parámetro puede presentar saltos o discontinuidades que alertan al equipo de control de calidad sobre posibles defectos en los dispositivos fabricados. Como analista cuantitativo, tu misión es examinar esas transiciones.

Tu reto:  

Formular y ejecutar una estrategia basada en límites y continuidad para analizar el comportamiento de los parámetros de producción en los instantes de transición entre turnos, proyectar su tendencia a largo plazo, interpretar los límites trigonométricos de los sensores del sistema y determinar si los parámetros son continuos en los puntos críticos para garantizar la calidad del proceso productivo.

Figura 3. 

Línea de producción industrial de dispositivos electrónicos en Bogotá.

 

Nota. Línea de producción industrial de dispositivos electrónicos en Bogotá: el parámetro de calidad se registra en cada turno de producción. Fuente IA Claude.

📐 Ejercicio 1 – Límites laterales

Contexto:  Los sensores de calidad registran el parámetro del proceso como una función a trozos que cambia de expresión en los instantes de transición entre turnos de producción o ajustes de máquina. El equipo necesita saber si el parámetro tiene un valor bien definido en esos instantes para garantizar la continuidad del estándar de calidad.

Tabla 4. 

Límites a calcular en la función dada.

Función asignada f(x) Límites a calcular en los puntos de transición

f(x)={■(x^2+2x-1&"si " x≤-3@2x+5&"si " -3<x≤5@2x^3+x&"si " x>5)┤ (lim)┬(x→-3^- )⁡f(x)

(lim)┬(x→-3^+ )⁡f(x)

(lim)┬(x→5^- )⁡f(x)

(lim)┬(x→5^+ )⁡f(x)

Nota. Límites a calcular en la función dada. Fuente autor.

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular, responde: ¿Qué expresión de la función aplica en cada lado del punto de transición? ¿Qué establece la definición de límite lateral sobre la existencia del límite? ¿Cuándo existe el límite en un punto de transición y cuándo no? Escribe tu estrategia antes de operar.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Calcula analíticamente los cuatro límites laterales de la tabla para el literal asignado, mostrando el procedimiento completo con el editor de ecuaciones de Word.

Grafica la función a trozos en GeoGebra, observa el comportamiento en cada punto de transición e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coinciden los límites laterales calculados analíticamente con lo observado en GeoGebra? Explica la coincidencia o discrepancia.

¿Existe el límite en cada punto de transición? Justifica usando la condición lim┬(x→a^- )⁡f(x)=lim┬(x→a^+ )⁡f(x)

Con base en los resultados, ¿el parámetro de calidad se comporta de forma estable en los instantes de transición? Justifica tu respuesta.

📐 Ejercicio 2 – Límites indeterminados (forma 0/0)

Contexto:  Durante el análisis de los registros del proceso, el equipo identifica un instante donde la función del parámetro de calidad presenta la forma indeterminada 0/0. El valor exacto del límite en ese instante permite determinar si el proceso cumple o no los estándares en ese momento crítico.

Límite a calcular (verificar primero que es de la forma 0/0)

lim┬(x→3)⁡〖(2x-6)/(x^2-2x-3)〗

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: sustituye el valor indicado para confirmar la forma 0/0. Identifica qué técnica algebraica (factorización, racionalización u otra) elimina la indeterminación y explica por qué es la más adecuada para este caso antes de aplicarla.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Aplica la técnica seleccionada paso a paso y calcula el límite.

Justifica por escrito la técnica utilizada y por qué resuelve la indeterminación.

Verifica gráficamente con GeoGebra e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coincide el valor calculado con el comportamiento gráfico observado en GeoGebra?

¿Qué conclusión puedes sacar del hecho de que el límite exista aunque la expresión directa sea indeterminada? ¿Coincide ese valor con el que muestra GeoGebra? Justifica tu respuesta.

📐 Ejercicio 3 – Límites al infinito (Google Colab + GeoGebra)

Contexto:  El equipo de producción necesita proyectar el comportamiento del parámetro de calidad cuando el tiempo de operación crece indefinidamente, para determinar si el proceso tenderá a estabilizarse en un valor óptimo de calidad o presentará una tendencia creciente o decreciente que lo saque de los estándares establecidos.

Función f(x). Calcular  〖lim〗_(x→∞)⁡f(x)

f(x)=(3x^7-5x^5+10x^3-x)/(2x^4+7x^2+1)

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: identifica los términos dominantes del numerador y del denominador cuando x →∞ Predice el valor del límite (¿tiende a cero, a una constante, o a infinito?) y explica la estrategia analítica que usarás.

II.  Ejecuta el procedimiento:

A – GeoGebra:  

Grafica f(x) en GeoGebra, observa el comportamiento cuando x crece e incluye captura de pantalla.

B – Cálculo analítico:  

Calcula lim┬(x→∞)⁡f(x) de manera analítica sin la Regla de L'Hôpital, mostrando el procedimiento completo con los términos dominantes identificados.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? ¿Coinciden el resultado analítico y el de GeoGebra? Explica brevemente.

¿Hacia dónde tiende la función cuando x crece indefinidamente? ¿Existe una asíntota horizontal? ¿Qué dice ese resultado sobre el comportamiento a largo plazo del parámetro de calidad?

📐 Ejercicio 4 – Límites trigonométricos

Contexto:  El sistema de control de la planta también analiza funciones trigonométricas que modelan la variación de los sensores ópticos de calidad, la relación entre la desviación angular de los brazos robóticos y el parámetro de soldadura, y la atenuación de las señales de los sensores de presión.

Instrucción: Resolver el ejercicio sin usar la Regla de L'Hôpital. Indicar el teorema o identidad trigonométrica aplicada.

🌡️ Desviación del sistema de control de temperatura

El sistema de control de temperatura del proceso usa un sensor infrarrojo. La desviación relativa D del sensor para correcciones pequeñas del parámetro x se modela mediante:  D(x)=(1-cos⁡(3x))/(5x^2 ). Calcular:  lim┬(x→0)⁡〖(1-cos⁡(3x))/(5x^2 )〗

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: ¿Qué forma tiene el límite? ¿Qué identidad o teorema trigonométrico reconoces que permite resolverlo? Explica tu plan.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Resuelve el límite paso a paso indicando la identidad o el teorema aplicado en cada paso.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? Enuncia el valor obtenido.

¿Qué indica el valor obtenido sobre el comportamiento del sistema cuando el parámetro de corrección es muy pequeño? Explica con tus propias palabras.

📐 Ejercicio 5 – Continuidad de funciones 

Nota: 

Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación particular. Debes formular una estrategia, ejecutarla con Google Colab, interpretar los resultados y sustentar el proceso completo en un video de máximo 4 minutos.

Contexto:  El equipo de control de calidad debe verificar si las funciones a trozos que modelan el parámetro del proceso en los diferentes turnos son continuas en los instantes de transición. Una discontinuidad puede indicar un cambio brusco en la temperatura, la tensión o el tiempo de soldadura que generaría defectos en los dispositivos electrónicos y rechazos de producción.

La función que modela el parámetro del proceso en los diferentes turnos está dada por:

 f(x)={■(2x+5&"si " x<0@x^2+1&"si " 0≤x<2@x+3&"si " x≥2)┤

Los puntos de análisis son x=0 "y" x=2

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Para cada punto de transición, x=0 y x=2, verifique los tres requisitos de continuidad:

f(a) está definida.

Existe el límite:

lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗

El límite coincide con el valor de la función: 

lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=f(a)

A partir de estos tres requisitos, determine si la función es continua o discontinua en x=0 y en x=2. Incluya el desarrollo manual de los límites laterales, el valor de la función en cada punto y la conclusión correspondiente.

II.  Ejecuta con Google Colab (Gráfica de la función a trozos):

Con base en las indicaciones del Anexo 4 - Orientaciones para el uso de Google Colab Reto 3, escriba y ejecute el código necesario para generar la gráfica de la función a trozos en un intervalo adecuado, por ejemplo: -2≤x≤3.

En la gráfica debe marcar:

los tres tramos de la función; 

los puntos abiertos y cerrados en x=0; 

los puntos abiertos y cerrados en x=2. 

III.  Verifica e interpreta:

Compare el resultado gráfico con el análisis manual y responda:

¿Es la función continua en x=0 "y" x=2? Para cada punto, verifica explícitamente los tres requisitos de la definición y concluye si la función es continua o discontinua.

Si hay discontinuidad, indique si es de salto o removible.

¿Qué podría representar una discontinuidad en el contexto dado? Explica tu respuesta.

Finalmente, grabe un video de sustentación de máximo 4 minutos, en el que explique el procedimiento realizado, la gráfica obtenida en Google Colab y la interpretación del resultado en el contexto dado.

SITUACIÓN D

Seguimiento de señales sísmicas en una red de monitoreo

Red de estaciones sismológicas – Eje Cafetero, SGC Colombia

Situación:  

El Servicio Geológico Colombiano (SGC) opera una red de estaciones sismológicas en el Eje Cafetero. Cada estación registra la amplitud de las ondas sísmicas (en micrómetros) como función del tiempo. Estas señales presentan comportamientos a trozos porque las ondas cambian de tipo ondas P, ondas S, ondas superficiales, en instantes específicos de la secuencia sísmica. El equipo técnico necesita analizar matemáticamente estas señales para evaluar la severidad del evento, proteger a la población y coordinar los protocolos de emergencia.

Tu reto:  

Formular y ejecutar una estrategia basada en límites y continuidad para analizar el comportamiento de las señales sísmicas en los instantes de transición entre tipos de onda, estimar su tendencia a largo plazo, interpretar los límites trigonométricos del sistema de detección y determinar si las señales son continuas en los puntos críticos para evaluar el riesgo y activar los protocolos correspondientes.

Figura 4.

Red sismológica del SGC en el Eje Cafetero.

 

Nota. Red sismológica del SGC en el Eje Cafetero: el sismógrafo registra la amplitud de las ondas P, S y superficiales a lo largo del tiempo. Fuente IA Claude.

📐 Ejercicio 1 – Límites laterales

Contexto:  Las estaciones sismológicas registran la amplitud de la onda sísmica como una función a trozos que cambia de expresión en los instantes donde la onda cambia de tipo. El equipo necesita determinar si la amplitud tiene un valor de referencia bien definido en esos instantes de transición entre tipos de onda.

Tabla 5. 

Límites a calcular en la función dada.

Función asignada f(x) Límites a calcular en los puntos de transición

f(x)={■(2x^3-2&"si " x≤-2@3x+1&"si " -2<x≤2@x+2&"si " x>2)┤

(lim)┬(x→-2^- )⁡f(x)

(lim)┬(x→-2^+ )⁡f(x)

(lim)┬(x→2^- )⁡f(x)

(lim)┬(x→2^+ )⁡f(x)

Nota. Límites a calcular en la función dada. Fuente autor.

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular, responde: ¿Qué expresión de la función aplica en cada lado del punto de transición? ¿Qué establece la definición de límite lateral sobre la existencia del límite? ¿Cuándo existe el límite en un punto de transición y cuándo no? Escribe tu estrategia antes de operar.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Calcula analíticamente los cuatro límites laterales de la tabla para el literal asignado, mostrando el procedimiento completo con el editor de ecuaciones de Word.

Grafica la función a trozos en GeoGebra, observa el comportamiento en cada punto de transición e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coinciden los límites laterales calculados analíticamente con lo observado en GeoGebra? Explica la coincidencia o discrepancia.

¿Existe el límite en cada punto? Justifica usando la condición 

lim┬(x→a^- )⁡f(x)=lim┬(x→a^+ )⁡f(x)

Con base en los resultados, ¿la amplitud de la onda sísmica tiene un comportamiento estable en los instantes de transición? Justifica tu respuesta.

📐 Ejercicio 2 – Límites indeterminados (forma 0/0)

Contexto:  Durante el análisis de los registros sísmicos, el equipo identifica un instante donde la función de la amplitud presenta la forma indeterminada 0/0. El valor exacto del límite en ese instante permite estimar la energía liberada en ese momento crítico del evento.

Límite a calcular (verificar primero que es de la forma 0/0)

lim┬(x→1)⁡〖(√(3x+1)-2)/(x-1)〗

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: sustituye el valor indicado para confirmar la forma 0/0. Identifica qué técnica algebraica (factorización, racionalización u otra) elimina la indeterminación y explica por qué es la más adecuada para este caso antes de aplicarla.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Aplica la técnica seleccionada paso a paso y calcula el límite.

Justifica por escrito la técnica utilizada y por qué resuelve la indeterminación.

Verifica gráficamente con GeoGebra e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coincide el valor calculado con el comportamiento gráfico observado en GeoGebra?

¿Qué conclusión puedes sacar del hecho de que el límite exista aunque la expresión directa sea indeterminada? ¿Coincide ese valor con el que muestra GeoGebra? Justifica tu respuesta.

📐 Ejercicio 3 – Límites al infinito (Google Colab + GeoGebra)

Contexto:  El equipo necesita proyectar el comportamiento de la amplitud de las réplicas sísmicas cuando el tiempo crece indefinidamente, para evaluar si las réplicas del sismo tenderán a atenuarse progresivamente hasta niveles seguros, estabilizarse en una amplitud constante o incrementarse de manera preocupante.

Función f(x). Calcular  〖lim〗_(x→∞)⁡f(x)

f(x)=(5x^4+x^2-3)/(2x^5-x+4)

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: identifica los términos dominantes del numerador y del denominador cuando x → ∞. Predice el valor del límite (¿tiende a cero, a una constante, o a infinito?) y explica la estrategia analítica que usarás.

II.  Ejecuta el procedimiento:

A – GeoGebra:  

Grafica f(x) en GeoGebra, observa el comportamiento cuando x crece e incluye captura de pantalla.

B – Cálculo analítico:  

Calcula lim┬(x→∞)⁡f(x) de manera analítica sin la Regla de L'Hôpital, mostrando el procedimiento completo con los términos dominantes identificados.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? ¿Coinciden el resultado analítico y el de GeoGebra? Explica brevemente.

¿Hacia dónde tiende la función cuando x crece indefinidamente? ¿Existe una asíntota horizontal? ¿Qué dice ese resultado sobre el comportamiento a largo plazo de la amplitud de las réplicas sísmicas?

📐 Ejercicio 4 – Límites trigonométricos

Contexto:  El sistema sismológico también analiza funciones trigonométricas que modelan la propagación angular de las ondas sísmicas, la relación entre la amplitud de las ondas en diferentes ángulos de incidencia, y la atenuación de las señales de los geófonos a medida que se alejan del epicentro.

Instrucción: Resolver el ejercicio sin usar la Regla de L'Hôpital. Indicar el teorema o identidad trigonométrica aplicada.

🌊 Relación de amplitudes entre ondas P y ondas S

En el análisis de los registros sísmicos, la relación entre las amplitudes de las ondas P (compresión) y las ondas S (cizallamiento) en función del ángulo de incidencia θ se modela mediante:  R(θ)=sen(5θ)/sen(4θ) . Calcular:  lim┬(θ→0)⁡〖sen(5θ)/sen(4θ) 〗

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: ¿Qué forma tiene el límite? ¿Qué identidad o teorema trigonométrico reconoces que permite resolverlo? Explica tu plan.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Resuelve el límite paso a paso indicando la identidad o el teorema aplicado en cada paso.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? Enuncia el valor obtenido.

¿Qué indica el valor obtenido sobre la relación entre las amplitudes de los dos tipos de onda cuando el ángulo es muy pequeño? Explica con tus propias palabras.

📐 Ejercicio 5 – Continuidad de funciones 

Nota: 

Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación particular. Debes formular una estrategia, ejecutarla con Google Colab, interpretar los resultados y sustentar el proceso completo en un video de máximo 4 minutos.

Contexto:  El equipo del Sistema Geográfico Colombiano SGC debe verificar si las funciones a trozos que modelan la señal sísmica en los instantes de transición entre tipos de onda son continuas en esos puntos. Una discontinuidad puede indicar un cambio abrupto de energía que requiere activar alertas de emergencia, revisar la integridad estructural de edificaciones o evacuar zonas de riesgo.

La función que modela la señal sísmica está dada por:

f(x)={■(x-2&"si " x<-1@x^2&"si " -1≤x<2@2x&"si " x≥2)┤

Los puntos de análisis son: x=-1 y x=2

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Para cada punto de transición, x=-1 y x=2, verifique los tres requisitos de continuidad:

f(a) está definida.

Existe el límite:

lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗

El límite coincide con el valor de la función: 

lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=f(a)

A partir de estos tres requisitos, determine si la función es continua o discontinua en x=-1 y en x=2. Incluya el desarrollo manual de los límites laterales, el valor de la función en cada punto y la conclusión correspondiente.

II.  Ejecuta con Google Colab (Gráfica de la función a trozos):

Con base en las indicaciones del Anexo 4 - Orientaciones para el uso de Google Colab Reto 3, escriba y ejecute el código necesario para generar la gráfica de la función a trozos en un intervalo adecuado, por ejemplo: -4≤x≤4.

En la gráfica debe marcar:

los tres tramos de la función; 

los puntos abiertos y cerrados en x=-1; 

los puntos abiertos y cerrados en x=2. 

Inserte en el documento una captura de pantalla donde se observe el código ejecutado y la gráfica generada.

III.  Verifica e interpreta:

Grafica la función a trozos en GeoGebra e incluye captura de pantalla.

Identifica visualmente si hay saltos, huecos o rupturas en los puntos de análisis. Anota lo que observas.

IV.  Interpreta y concluye:

Compare el resultado gráfico con el análisis manual y responda:

¿Es la función continua en x=-1 "y" x=2? Para cada punto, verifica explícitamente los tres requisitos de la definición y concluye si la función es continua o discontinua.

Si hay discontinuidad, indique si es de salto o removible.

¿Qué podría representar una discontinuidad en el contexto dado? Explica tu respuesta.

Finalmente, grabe un video de sustentación de máximo 4 minutos, en el que explique el procedimiento realizado, la gráfica obtenida en Google Colab y la interpretación del resultado en el contexto dado.

SITUACIÓN E

Optimización de señales en un sistema de telecomunicaciones 5G

Nodo de distribución 5G – Red nacional, Colombia

Situación:  

Un nodo de distribución de la red 5G en Colombia gestiona el tráfico de datos entre miles de dispositivos conectados simultáneamente. Las señales de transmisión se modelan con funciones a trozos cuya expresión cambia según la banda de frecuencia utilizada, la carga de la red o los eventos de conmutación entre antenas. Cuando se producen transiciones entre bandas o cambios de antena, la función de señal puede presentar comportamientos críticos que afectan la calidad de la conexión. Como analista cuantitativo del equipo de ingeniería de telecomunicaciones, tu misión es analizar esas transiciones.

Tu reto:  

Formular y ejecutar una estrategia basada en límites y continuidad para analizar el comportamiento de las señales de transmisión en los instantes de conmutación entre bandas, estimar su tendencia a largo plazo, interpretar los límites trigonométricos del sistema de antenas y determinar si la función de transmisión es continua en los puntos críticos para garantizar la calidad del servicio 5G.

Figura 5. 

Nodo de distribución de la red 5G.

 

Nota. Nodo de distribución de la red 5G: la señal de transmisión cambia de banda de frecuencia en el instante de conmutación x = a. Fuente IA Claude.

📐 Ejercicio 1 – Límites laterales

Contexto:  Los sistemas de la red 5G registran la potencia de la señal de transmisión como una función a trozos cuya expresión cambia al conmutar entre bandas de frecuencia o antenas. El equipo necesita saber si la señal tiene un valor bien definido en los instantes de conmutación para garantizar que no haya cortes de conexión.

Tabla 6. 

Límites a calcular en la función dada.

Función asignada f(x) Límites a calcular en los puntos de transición

f(x)={■(3x^5+3&"si " x≤-1@2x^4+4x-2&"si " -1<x≤1@x^3+x&"si " x>1)┤

(lim)┬(x→-1^- )⁡f(x)

(lim)┬(x→-1^+ )⁡f(x)

(lim)┬(x→1^- )⁡f(x)

(lim)┬(x→1^+ )⁡f(x)

Nota. Límites a calcular en la función dada. Fuente autor.

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular, responde: ¿Qué expresión de la función aplica en cada lado del punto de transición? ¿Qué establece la definición de límite lateral sobre la existencia del límite? ¿Cuándo existe el límite en un punto de transición y cuándo no? Escribe tu estrategia antes de operar.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Calcula analíticamente los cuatro límites laterales de la tabla para el literal asignado, mostrando el procedimiento completo con el editor de ecuaciones de Word.

Grafica la función a trozos en GeoGebra, observa el comportamiento en cada punto de transición e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coinciden los límites laterales calculados analíticamente con lo observado en GeoGebra? Explica la coincidencia o discrepancia.

¿Existe el límite en cada punto? Justifica usando la condición 

lim┬(x→a^- )⁡f(x)=lim┬(x→a^+ )⁡f(x)

Con base en los resultados, ¿la señal de transmisión tiene un comportamiento estable en los instantes de conmutación? Justifica tu respuesta.

📐 Ejercicio 2 – Límites indeterminados (forma 0/0)

Contexto:  Durante el análisis de la señal de la red, el equipo identifica un instante de conmutación donde la función de transmisión presenta la forma indeterminada 0/0. El valor exacto del límite en ese instante permite determinar la potencia de la señal en ese momento crítico y evaluar el impacto en la calidad del servicio.

Límite a calcular (verificar primero que es de la forma 0/0)

(lim)┬(x→2/3)⁡〖(9x^2-4)/(3x-2)〗

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: sustituye el valor indicado para confirmar la forma 0/0. Identifica qué técnica algebraica (factorización, racionalización u otra) elimina la indeterminación y explica por qué es la más adecuada para este caso antes de aplicarla.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Aplica la técnica seleccionada paso a paso y calcula el límite.

Justifica por escrito la técnica utilizada y por qué resuelve la indeterminación.

Verifica gráficamente con GeoGebra e incluye captura de pantalla.

III.  Verifica e interpreta:

¿Coincide el valor calculado con el comportamiento gráfico observado en GeoGebra?

¿Qué conclusión puedes sacar del hecho de que el límite exista aunque la expresión directa sea indeterminada? ¿Coincide ese valor con el que muestra GeoGebra? Justifica tu respuesta.

📐 Ejercicio 3 – Límites al infinito (Google Colab + GeoGebra)

Contexto:  El equipo de ingeniería necesita proyectar el comportamiento de la señal de transmisión cuando la variable independiente (frecuencia o tiempo) crece indefinidamente, para evaluar si el sistema se estabilizará en una potencia constante adecuada para el servicio o si la señal degenerará hasta volverse imperceptible para los usuarios.

Función f(x). Calcular  〖lim〗_(x→∞)⁡f(x)

f(x)=(3x^6+x^3-2)/(x^8+4x^7-x^6+100)

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: identifica los términos dominantes del numerador y del denominador cuando x → ∞. Predice el valor del límite (¿tiende a cero, a una constante, o a infinito?) y explica la estrategia analítica que usarás.

II.  Ejecuta el procedimiento:

A – GeoGebra:  

Grafica f(x) en GeoGebra, observa el comportamiento cuando x crece e incluye captura de pantalla.

B – Cálculo analítico:  

Calcula lim┬(x→∞)⁡f(x) de manera analítica sin la Regla de L'Hôpital, mostrando el procedimiento completo con los términos dominantes identificados.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? ¿Coinciden el resultado analítico y el de GeoGebra? Explica brevemente.

¿Hacia dónde tiende la función cuando x crece indefinidamente? ¿Existe una asíntota horizontal? ¿Qué dice ese resultado sobre el comportamiento a largo plazo de la señal de transmisión?

📐 Ejercicio 4 – Límites trigonométricos

Contexto:  El sistema de telecomunicaciones también analiza funciones trigonométricas que modelan la relación entre la atenuación de la señal y el ángulo de incidencia de las ondas en las antenas, la razón de cambio del haz de radiación, y la relación entre las corrientes en diferentes puntos de la red de distribución.

Instrucción: Resolver el ejercicio sin usar la Regla de L'Hôpital. Indicar el teorema o identidad trigonométrica aplicada.

⚡ Relación de corrientes en la línea de alimentación del nodo 5G

La línea de corriente alterna (AC) que alimenta el nodo 5G presenta una relación entre la corriente de entrada al nodo (I₁) y la corriente en los amplificadores de la antena (I₂) que, para ángulos de fase pequeños θ, se modela mediante:  R(θ)=sen(θ)/sen(2θ) . Calcular:  lim┬(θ→0)⁡〖sen(θ)/sen(2θ) 〗 

Sugerencia: aplica la identidad del doble ángulo: sen(2θ)=2⋅sen(θ)⋅cos(θ)

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Antes de calcular: ¿Qué forma tiene el límite? ¿Qué identidad o teorema trigonométrico reconoces que permite resolverlo? Explica tu plan.

II.  Ejecuta el procedimiento:

Resuelve el límite paso a paso indicando la identidad o el teorema aplicado en cada paso.

III.  Verifica e interpreta:

¿Cuál es el valor del límite? Enuncia el valor obtenido.

¿Qué indica el valor obtenido sobre la relación entre I₁ e I₂ cuando el ángulo de fase es muy pequeño? Explica con tus propias palabras.

📐 Ejercicio 5 – Continuidad de funciones 

Nota: 

Este ejercicio integra los saberes de los ejercicios anteriores en una situación particular. Debes formular una estrategia, ejecutarla con Google Colab, interpretar los resultados y sustentar el proceso completo en un video de máximo 4 minutos.

Contexto:  El equipo de ingeniería debe verificar si las funciones a trozos que modelan la señal de transmisión en diferentes bandas de frecuencia son continuas en los instantes de conmutación. Una discontinuidad puede causar cortes de conexión, pérdida de paquetes de datos o degradación en la calidad de servicio que afecta la experiencia de los usuarios.

La señal de transmisión se modela mediante la siguiente función a trozos:

f(x)={■(2x+4&"si " x<1@x^2+2&"si " 1≤x<3@x+8&"si " x≥3)┤

Los puntos de análisis son: x=1 "y" x=3

I.  Analiza y formula tu estrategia:

Para cada punto de transición, x=1 y x=3, verifique los tres requisitos de continuidad:

f(a) está definida.

Existe el límite:

lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗

El límite coincide con el valor de la función: 

lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=f(a)

A partir de estos tres requisitos, determine si la función es continua o discontinua en x=1 y en x=3. Incluya el desarrollo manual de los límites laterales, el valor de la función en cada punto y la conclusión correspondiente.

II.  Ejecuta con Google Colab (Gráfica de la función a trozos):

Con base en las indicaciones del Anexo 4 - Orientaciones para el uso de Google Colab Reto 3, escriba y ejecute el código necesario para generar la gráfica de la función a trozos en un intervalo adecuado, por ejemplo: -2≤x≤6.

En la gráfica debe marcar:

los tres tramos de la función; 

los puntos abiertos y cerrados en x=1; 

los puntos abiertos y cerrados en x=3. 

Inserte en el documento una captura de pantalla donde se observe el código ejecutado y la gráfica generada.

III.  Verifica e interpreta:

Compare el resultado gráfico con el análisis manual y responda:

¿Es la función continua en x=1 "y" x=3? Para cada punto, verifica explícitamente los tres requisitos de la definición y concluye si la función es continua o discontinua.

Si hay discontinuidad, indique si es de salto o removible.

¿Qué podría representar una discontinuidad en el contexto dado? Explica tu respuesta.

Finalmente, grabe un video de sustentación de máximo 4 minutos, en el que explique el procedimiento realizado, la gráfica obtenida en Google Colab y la interpretación del resultado en el contexto dado.

Información y orientación adicional

Si deseas obtener información y orientación adicional sobre el desarrollo de las actividades, puedes comunicarte a través de WhatsApp:

WhatsApp: (+57) 3138743342

Enlace: https://wa.link/tvyonr

Nota: La información publicada en este sitio no sustituye las orientaciones oficiales de la UNAD. Se recomienda verificar siempre las instrucciones, fechas y criterios de evaluación directamente en los espacios institucionales correspondientes.

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