SOLUCION - Tarea 4 - Aplicación de la Transformada de Laplace a través del pensamiento computacional - ECUACIONES DIFERENCIALES - (100412A_2204)

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Paso 1. Revisión de los contenidos del RAC 4. El estudiante debe ingresar al Entorno de Aprendizaje y Evaluación del RAC 4 y revisar las referencias requeridas. Paso 2. Elección en el foro de ejercicios a desarrollar individualmente. La actividad actual evalúa cuatro temáticas y cada una de estas temáticas está compuesta por cinco ejercicios tipo A, B, C, D y E de la siguiente manera: 4 Ejercicio 1: Resolver la ecuación diferencial con la Transformada de Laplace. Ejercicio 2: Verificación computacional en Google Colab. Ejercicio 3: Análisis crítico -- ¿cuándo y por qué usar la Transformada de Laplace? Ejercicio 4: Video de sustentación. Ejercicio 5: Asistencia a evento ECBTI e informe en inglés. Así, cada estudiante debe seleccionar una letra y desarrollar el ejercicio asociado a esa letra en cada una de las cuatro temáticas. Para la realización del ejercicio 2, el estudiante deberá basarse en el archivo Anexo 9 -- Notebook_Aplicación_de_la_Transformada_de_Laplace.ipynb, el cual podrá descargar de la carpeta Guía de aprendizaje - Tarea 4 - Aplicación de la Transformada de Laplace a través del pensamiento computacional, simulación e interpretación de ecuaciones diferenciales de orden superior en el Entorno de Aprendizaje y Evaluación -- Momento Intermedio. Este archivo deberá ser trabajado en Google Colab, lo cual será explicado en la correspondiente WebConferencia de la sesión. Como apoyo, el estudiante también contará en la misma carpeta con el documento Anexo 7 -- Solución de Ecuaciones Diferenciales mediante Google Colab, el cual se encuentra alojado en nuestro repositorio institucional. Después debe realizar el ejercicio 4 que se relaciona con la sustentación de los Ejercicios 1 a 3 mediante un video, y el ejercicio 5 que corresponde a la asistencia a un evento ECBTI y la elaboración de un informe en inglés. Posteriormente el estudiante debe indicar en el foro qué letra va a escoger. Paso 3 – Presentación en el foro de los aportes. 5 El estudiante procede con el desarrollo de los ejercicios seleccionados y presenta los aportes en el Foro para el paso 3 teniendo en cuenta los siguientes parámetros: - Para conocer los ejercicios para desarrollar y las pautas de cada ejercicio descargar el documento Anexo 6 - Ejercicios Tarea 4 que se encuentra en la carpeta del foro Guía de aprendizaje - Tarea 4 - Aplicación de la Transformada de Laplace a través del pensamiento computacional. - Se definen como aportes en el foro a los documentos adjuntos en Word donde se presentan avances del desarrollo de los ejercicios seleccionados utilizando el editor de ecuaciones de carácter obligatorio. - Solo se deben presentar los aportes de ejercicios de la letra seleccionada, por ejemplo, si un estudiante elige los ejercicios A, solo debe presentar los ejercicios 1A a 4A y el ejercicio 5 que es el enlace de sustentación del ejercicio 4A. - Colocar al final del Anexo 5 – Plantilla Entrega Tarea 4, siguiendo las indicaciones de esta plantilla, las capturas de pantalla de al menos tres aportes (en Word usando el editor de ecuaciones) que haya subido al foro de este RAC, con al menos 3 días hábiles de anticipación al cierre de esta actividad, para tener en cuenta su participación en el criterio de la rúbrica correspondiente. Paso 4 – Elaboración de un video explicativo de los ejercicios 1 a 3. (Ejercicio 4) El ejercicio 4 se relaciona con sustentar el proceso completo de los ejercicios 1 a 3 de acuerdo con la letra elegida por medio de un video explicativo. Revisar en el Anexo 6 - Ejercicios Tarea 4, ejercicio 4 las pautas de contenido y tecnológicas de la sustentación.

Anexo 6 – Tarea 4 – Aplicación de la Transformada de Laplace a través del pensamiento computacional A continuación, se presentan los ejercicios de la Tarea 4, correspondientes al desarrollo del siguiente resultado de aprendizaje: Resultado de Aprendizaje del Curso 4 (RAC 4): Aplicar la Transformada de Laplace como mecanismo de abstracción matemática para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales, evaluando su pertinencia frente a otros métodos de solución e integrando el pensamiento algorítmico mediante implementaciones computacionales en contextos de ingeniería. Cada letra (A, B, C, D o E) determina el sistema dinámico real que el estudiante trabajará de forma coherente a lo largo de toda la Tarea 4. La letra se selecciona de forma independiente a la utilizada en tareas anteriores. A. Buenaventura (Valle del Cauca) – Cabrestante de amarre en terminal portuario. B. Duitama (Boyacá) – Tren de laminación de una planta de acero. C. Yopal (Casanare) – Unidad de bombeo mecánico en campo petrolero. D. Sogamoso (Boyacá) – Eje de molino rotativo en planta de 2 𝑦 ′′ + 7𝑦′ + 10𝑦 = 30, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 cemento. E. Tunja (Boyacá) – Telar industrial en planta textil. Ejercicio 1. Resolver la ecuación diferencial con la Transformada de Laplace. La Transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en la variable s. Esto permite incorporar las condiciones iniciales directamente dentro del proceso, sin aplicarlas como paso aparte al final. 𝐿{𝑦 ′ } = 𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) 𝐿{𝑦 ′′} = 𝑠 2𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′ (0) Resuelva la ecuación diferencial de su sistema usando el método completo de la Transformada de Laplace, mostrando cada paso del proceso. A. Buenaventura – Cabrestante de amarre portuario. Un cabrestante es una máquina de halado formada por un tambor giratorio que enrolla un cable, usada en puertos para tensar las cuerdas que amarran los barcos al muelle. En el terminal de contenedores de Buenaventura, un cabrestante eléctrico controla el cable de amarre que sujeta un buque portacontenedores durante la maniobra de atraque. Mientras el barco se acerca al muelle, el operario activa el cabrestante para tensar el cable de forma controlada: la fuerza de halado pasa de cero a un valor constante en el instante en que el motor entra en operación, y el cable —junto con el sistema de poleas y el freno hidráulico del cabrestante— responde a este nuevo nivel de tensión como un sistema masa-resorte-amortiguador. Anticipar si el cable alcanza la tensión final de forma directa o si oscila antes de estabilizarse es crítico: una oscilación mal controlada puede generar tirones bruscos que dañen las bitas de amarre o pongan en riesgo al personal en cubierta. El comportamiento del cable, inicialmente en reposo, se modela mediante: 3 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 18, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 18, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 B. Duitama – Tren de laminación de acero. Un tren de laminación es un conjunto de rodillos que comprimen el acero caliente para reducir su espesor y darle forma de lámina, antes de que el material pase a la etapa de enfriamiento. En la planta siderúrgica de Duitama, una lámina de acero caliente pasa entre dos de estos rodillos. Al iniciar cada pasada, el sistema hidráulico de los rodillos aplica una fuerza de compresión que pasa abruptamente de cero a un valor constante, y el rodillo superior —montado sobre soportes elásticos con amortiguamiento mecánico— se desplaza hacia la lámina hasta alcanzar la posición de compresión deseada. Si el rodillo oscila antes de asentarse, el espesor final de la lámina queda irregular, generando producto de baja calidad y posible chatarra. El desplazamiento vertical del rodillo, inicialmente en su posición de reposo, se modela mediante: C. Yopal – Unidad de bombeo mecánico. Una unidad de bombeo mecánico (conocida popularmente como “caballito de bombeo”) es el equipo de superficie que se balancea de forma rítmica para extraer petróleo desde el fondo de un pozo, transmitiendo el movimiento a través de una varilla de succión que baja hasta la bomba subterránea. En un campo petrolero cercano a Yopal, al encender la unidad después de una parada de mantenimiento, el motor aplica un torque constante a la varilla, que debe pasar de estar completamente en reposo a sostener el peso de la columna de fluido en el pozo. Por el diseño del sistema de contrapesos y el amortiguamiento propio del cabezal, se espera que la varilla alcance su nueva posición de operación de forma directa, sin oscilaciones que generen fatiga prematura del material o desgaste de los empaques. El desplazamiento de la varilla, inicialmente en reposo, se modela mediante: 4 𝑦 ′′ + 16𝑦 = 16, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 D. Sogamoso – Eje de molino rotativo de cemento. En una planta cementera de Sogamoso, un molino rotativo tritura el material crudo (clinker) mediante un eje central de gran longitud, soportado por rodamientos que prácticamente no introducen amortiguamiento mecánico al sistema. Cuando el motor del molino arranca, aplica un par motor constante sobre el eje, que comienza a girar y a vibrar desde el reposo —no en línea recta, sino retorciéndose levemente sobre su propio eje, lo que se conoce como vibración torsional—. Como el eje carece de un mecanismo disipador apreciable, esta vibración no se atenúa con el tiempo: se mantiene oscilando de forma sostenida una vez que el sistema entra en operación, lo cual obliga a los ingenieros de mantenimiento a anticipar la frecuencia de esta vibración para evitar resonancias con otros componentes de la línea de producción. El desplazamiento angular del eje, inicialmente en reposo, se modela mediante: E. Tunja – Telar industrial. Un telar es la máquina que entrelaza dos grupos de hilos —la urdimbre (hilos longitudinales, fijos en el telar) y la trama (el hilo que se entrecruza con ellos)— para tejer la tela. El conjunto de piezas que sostiene los peines y guías que mantienen los hilos en posición se llama bastidor. En una planta textil de Tunja, cuando el operario inicia un nuevo lote de producción, el mecanismo tensor del telar aplica una fuerza de tensión constante sobre el hilo, y el bastidor comienza a vibrar desde su posición de reposo hasta asentarse en la tensión de operación. El bastidor cuenta con elementos amortiguadores, pero estos no son tan fuertes como en otros equipos industriales, por lo que se espera que el sistema oscile varias veces antes de estabilizarse; si esa oscilación es excesiva, puede traducirse en hilos rotos o defectos visibles en la tela. El desplazamiento del bastidor, inicialmente en 5 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 10𝑦 = 20, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 reposo, se modela mediante: Instrucciones Desarrolle el proceso completo en 5 pasos: – 1. Transformar: aplique 𝐿{·} a ambos lados de la ecuación usando linealidad; sustituya 𝐿{𝑦′} y 𝐿{𝑦′′} con las condiciones iniciales ya incorporadas. – 2. Despejar 𝒀(𝒔): agrupe los términos en 𝑌(𝑠) en el lado izquierdo y simplifique hasta obtener una fracción racional. – 3. Descomponer en fracciones parciales: factorice el denominador (es la misma ecuación característica trabajada en tareas anteriores) e identifique el tipo de fracción parcial según la naturaleza de las raíces. – 4. Transformar de regreso: identifique cada término en la tabla de transformadas y obtenga 𝑦(𝑡). – 5. Verificar: compruebe que 𝑦(𝑡) satisface la ecuación original y las condiciones iniciales. A lo largo del proceso, responda también: - ¿Qué tipo de raíces tiene su sistema (reales distintas, raíz doble o imaginarias puras)? ¿Qué tipo de término genera ese caso en 𝑦(𝑡) (exponenciales simples, un término 𝑡 · 𝑒 𝑎𝑡, o senos y cosenos)? - El denominador de 𝑌(𝑠) antes de simplificar, ¿qué relación tiene con la ecuación característica de su sistema? Interpretación: ¿hacia qué valor se estabiliza su sistema a largo plazo? ¿Qué significa ese valor en el contexto real descrito (el cabrestante, el rodillo, la varilla, el eje o el bastidor, según su letra)? 6 Ejercicio 2. Verificación computacional en Google Colab Basándose en la ecuación de su letra (Ejercicio 1) y en el archivo Anexo 9 – Notebook_Aplicación_de_la_Transformada_de_Laplace.ipynb, implemente y verifique su solución. Instrucciones 1. Solución simbólica con SymPy Use laplace_transform() para obtener 𝑌(𝑠) y inverse_laplace_transform() para obtener 𝑦(𝑡). Compare ambos resultados con los entregados por dsolve(). ¿Coinciden los tres? 2. Visualización Genere la gráfica de 𝑦(𝑡) con ejes etiquetados, título descriptivo del sistema, y una línea horizontal en el valor de equilibrio. 3. Enlace público Comparta el notebook en Google Drive con acceso público (Cualquier persona con el enlace puede ver). Verifique el enlace en ventana de incógnito antes de entregarlo. Ejercicio 3. Análisis crítico – ¿cuándo y por qué usar la Transformada de Laplace? Con base en los resultados de los Ejercicios 1 y 2, responda las siguientes preguntas para el sistema de su letra. 1. Ventajas de la Transformada de Laplace Mencione dos ventajas prácticas de la Transformada de Laplace sobre el método clásico (coeficientes indeterminados), considerando especialmente cómo se incorporan las condiciones iniciales y qué 7 pasaría si el término forzante fuera más complejo (por ejemplo, una función senoidal). 2. Función de transferencia 𝑯(𝒔) Si 𝑌(𝑠) = 𝐻(𝑠) · 𝐹(𝑠), donde 𝐹(𝑠) es la transformada del término forzante, calcule 𝐻(𝑠) para su sistema. ¿Cuál es su denominador, y cómo se relaciona con la ecuación característica encontrada en el Ejercicio 1? 3. Recomendación ingenieril Para el sistema de su letra, describa brevemente un escenario en el que preferiría usar la Transformada de Laplace frente al método clásico, y justifique por qué. Ejercicio 4. Video de sustentación Realice un video sustentando el proceso completo de la Tarea 4 (Ejercicios 1 a 3). Utilice como apoyo visual el Anexo 5 – Plantilla Entrega Tarea 4 (no diapositivas ni otros documentos). Duración máxima: 5 minutos. 1. Introducción (30 segundos) Presentación personal (mostrar el rostro). Mencione el sistema asignado (letra y lugar) y la ecuación resuelta. 2. Fundamento teórico (60 segundos) Explique cómo se obtuvo 𝑦(𝑡) mediante Laplace (Ejercicio 1) y cómo quedaron incorporadas las condiciones iniciales en el proceso. 3. Implementación en Colab (90 segundos) Recorra el notebook del Ejercicio 2 en vivo, mostrando la solución 8 simbólica y la gráfica con el valor de equilibrio. 4. Interpretación y análisis crítico (60 segundos) Explique el resultado en el lenguaje del sistema asignado y responda brevemente una de las preguntas del Ejercicio 3. 5. Conclusiones (60 segundos) Sintetice qué ventaja concreta ofreció la Transformada de Laplace para resolver este sistema. Duración total estimada: 5 minutos Pautas tecnológicas de la sustentación • Duración máxima: 5 minutos. • Incluir captura de pantalla del notebook en Colab durante el video. • El rostro del estudiante debe ser visible durante la introducción. • Audio claro y ambiente sin ruidos que dificulten la comprensión. • Se recomienda Loom o YouTube (no listado) para la grabación y generación del enlace. Ejercicio 5. Asistencia a evento ECBTI e informe en inglés Como parte del desarrollo de la competencia en inglés del curso, el estudiante debe asistir a una conferencia, webinar o evento académico organizado por la ECBTI relacionado con aplicaciones de las ecuaciones diferenciales (o, en su defecto, con matemáticas aplicadas a la ingeniería), y elaborar un informe corto en inglés. Instrucciones 1. Identifique el evento Verifique en el cronograma del curso o en los canales oficiales de la 9 ECBTI la fecha del evento programado para este periodo académico. 2. Asista al evento de forma sincrónica o asincrónica Participe en vivo o, si UNAD habilita la grabación oficial, revísela completa. 3. Redacte el informe Elabore un informe de máximo una página, en inglés, con las siguientes secciones. Event – Name, date, and speaker(s) of the event. Summary – Brief summary of the topic discussed (3–5 sentences). Key Takeaway – The most important idea you learned from the event. Connection to the Course – How the topic relates to differential equations or the Laplace Transform. Instrucciones de entrega • Anexe captura de pantalla o certificado de asistencia, si el evento lo proporciona. • El informe debe ser redactado por el estudiante; no se acepta traducción automática sin revisión propia

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