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CรLCULO DIFERENCIAL
Anexo 5 – Contextos Reto 4 - Diseรฑo de soluciones mediante la derivada
Estructura de los contextos
Cada contexto contiene cinco grupos de ejercicios. Los grupos 1 a 4 trabajan los contenidos del RAC 4 y siguen tres momentos de argumentaciรณn: Primero explicas por quรฉ usas la tรฉcnica (sin calcular todavรญa), luego desarrollas el procedimiento y finalmente verificas con herramienta digital e interpretas el resultado en el contexto real. El ejercicio 5 promueve la participaciรณn en eventos acadรฉmicos y el uso del inglรฉs.
Recuerda: El valor de tu aprendizaje estรก en lo que construyes con tu propio esfuerzo y pensamiento. Si usas herramientas de inteligencia artificial, hazlo de forma responsable: cita los referentes utilizados, verifica la informaciรณn y deja siempre visible tu propio proceso de argumentaciรณn.
Contexto A
Ingenierรญa de producciรณn
Planta manufacturera
Contexto:
En una planta manufacturera de componentes electrรณnicos en Bogotรก, el equipo de ingenierรญa necesita entender cรณmo se comportan las variables del proceso productivo: la temperatura del horno de soldadura cambia con la potencia elรฉctrica, la producciรณn acumulada varรญa con el tiempo, y el consumo energรฉtico estรก relacionado con las unidades fabricadas de una forma que no puede expresarse de manera simple. Con esa informaciรณn, el equipo tambiรฉn quiere diseรฑar las cajas de empaque que usen la menor cantidad de material posible para un volumen de producto fijo.
Tu reto:
Calcular las tasas de cambio de las variables de producciรณn usando la regla de la cadena, analizar la relaciรณn entre producciรณn y consumo energรฉtico con derivada implรญcita, estudiar si la producciรณn se acelera o desacelera con derivadas de orden superior, y determinar las dimensiones del empaque que usan menos material para la producciรณn.
Figura 1.
Representaciรณn de una planta manufacturera con horno de soldadura.
Nota. Representaciรณn de una planta manufacturera con horno de soldadura, banda transportadora y monitoreo de variables de producciรณn mediante derivadas. Fuente autor.
Ejercicio 1. Regla de la cadena – ¿A quรฉ velocidad cambia la temperatura del horno?
En la planta de manufactura, la temperatura T (en °C) dentro del horno de soldadura depende del nivel de potencia P (en kW). A su vez, la potencia P depende del tiempo t (en minutos) desde el arranque. Las relaciones del modelo son:
T(P)=sen(P^2+1)/cos(P+3) y P(t)=2t+2
Evaluar en t=1 minuto.
I. ¿Quรฉ pasa en la funciรณn T(P(t))? ¿Tienes una funciรณn dentro de otra? ¿Cuรกl es la funciรณn exterior y cuรกl la interior? Antes de calcular, explica con tus propias palabras por quรฉ necesitas la regla de la cadena para derivar esta funciรณn.
II. Calcula dT/dt usando la regla de la cadena. Evalรบa el resultado en t=1. Muestra cada paso a travรฉs del editor de ecuaciones de Word.
III. Verifica en GeoGebra la grรกfica de T(P(t))y la pendiente en t=1. Adjunta la captura. ¿A quรฉ ritmo cambia la temperatura del horno en ese instante? ¿Eso es rรกpido o lento para el proceso de soldadura? Explica.
Ejercicio 2. Derivada implรญcita – Relaciรณn entre producciรณn y consumo energรฉtico
El equipo encontrรณ que la relaciรณn entre la producciรณn diaria y (en miles de unidades) y el consumo de energรญa x (en MWh) estรก dada por la siguiente ecuaciรณn, donde y no puede despejarse directamente:
y^2=x^2 (5-x^2 )
Donde el punto P=(2,2) pertenece a esta curva.
I. ¿Por quรฉ no puedes despejar y de esta ecuaciรณn como lo harรญas normalmente? Explica en tus palabras en quรฉ consiste la derivaciรณn implรญcita y cuรกndo se utiliza, antes de comenzar a calcular.
II. Primero verifica que el punto P=(2,2) pertenece a la curva sustituyendo sus coordenadas. Luego calcula dy/dx por derivada implรญcita y evalรบa la pendiente en P. Por รบltimo, escribe la ecuaciรณn de la recta tangente en ese punto.
III. En Google Colab, grafica la curva, el punto P y la recta tangente. Incluye la captura con el cรณdigo ejecutado y la grรกfica. ¿Quรฉ te dice la pendiente sobre la relaciรณn entre producciรณn y consumo energรฉtico en ese punto de operaciรณn? Argumenta tu respuesta.
Nota. Con base en las indicaciones del Anexo 6 - Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 6, escribe y ejecuta el cรณdigo y luego grafica la funciรณn.
Ejercicio 3. Derivadas de orden superior – ¿Se acelera o desacelera la producciรณn?
La producciรณn acumulada de la planta de manufactura (en miles de unidades) en funciรณn del tiempo t (en semanas), con t ≥ 0, es:
f(t)=1/5 t^3-6t^2+8t+32
¿Quรฉ informaciรณn te da f^' (t) sobre la producciรณn? ¿Y f''(t)? Explica antes de calcular para quรฉ sirven cada una de estas derivadas en este contexto.
II. Calcula f'(t) y f''(t). Con esos resultados determina: (a) en quรฉ semanas la producciรณn no sube ni baja; (b) en quรฉ perรญodos la producciรณn estรก creciendo; (c) en quรฉ semanas la producciรณn se estรก acelerando.
III. Grafica en GeoGebra las tres funciones f(t), f'(t) y f''(t). Adjunta la captura. ¿Cuรกndo produce mรกs la planta? ¿En quรฉ semana conviene programar el pico de operaciรณn? Explica tu respuesta.
Ejercicio 4. Aplicaciรณn de la derivada – ¿Cuรกl es la caja que usa menos material?
La planta de manufactura necesita diseรฑar cajas de empaque sin tapa, con base cuadrada de lado x y altura h, que contengan exactamente 32 m³ de producto cada una. Se quiere usar la menor cantidad posible de material.
I. ¿Quรฉ funciรณn quieres minimizar? ¿Cuรกl es la restricciรณn que tienes (el volumen fijo)? Antes de calcular, explica cรณmo la derivada te ayuda a encontrar el valor de x que hace mรญnima esa funciรณn.
II. Escribe la funciรณn del รกrea superficial en tรฉrminos de x usando la restricciรณn del volumen. Calcula la derivada, iguรกlala a cero y resuelve. ¿Cuรกles son las dimensiones รณptimas x y h?
III. Grafica en GeoGebra la funciรณn de รกrea en tรฉrminos de x e identifica el punto mรญnimo. Adjunta la captura. ¿Cuรกles son las dimensiones de la caja que usa menos material? Explica.
Ejercicio 5 – Comรบn a todos los contextos: Infografรญa en inglรฉs: Participaciรณn en evento acadรฉmico
Nota:
El propรณsito de este ejercicio es promover la participaciรณn de los estudiantes en los eventos acadรฉmicos de la red de curso y fomentar el uso del inglรฉs como herramienta de comunicaciรณn cientรญfica.
Participa en la conferencia o evento acadรฉmico indicado en la red de curso, relacionado con aplicaciones de las matemรกticas en diferentes disciplinas. Deja evidencia de tu participaciรณn (presencial, sincrรณnica o asincrรณnica) mediante el diseรฑo de una infografรญa en inglรฉs, clara y visualmente atractiva.
La infografรญa debe incluir los siguientes elementos en inglรฉs:
Title: Name of the conference or academic event.
Introduction: A short description of the topic addressed.
Key ideas: Main contributions or conclusions from the event.
Connection to mathematics: How the topic relates to calculus, derivatives, or mathematical modeling.
Personal reflection: What you learned and how it connects to your academic or professional formation.
Source: Reference to the event (name, date, institution or link).
Para su elaboraciรณn puedes usar herramientas en lรญnea como Canva, o Genially. Adjunta la infografรญa al documento final o comparte el enlace activo de cualquier de las dos herramientas.
Contexto B
Salud pรบblica
Epidemiologรญa y propagaciรณn de enfermedades
Contexto:
El equipo de epidemiologรญa de una secretarรญa de salud en la ciudad de Pitalito en Colombia monitorea un brote de enfermedad respiratoria en un municipio. Para tomar decisiones sobre contenciรณn y recursos hospitalarios, necesitan saber con quรฉ velocidad aumentan los contagios dรญa a dรญa, en quรฉ momento el brote crece mรกs rรกpido y cuรกndo empieza a desacelerarse. Ademรกs, la secretarรญa quiere imprimir un pรณster informativo y necesita saber quรฉ tamaรฑo de hoja permite que la zona visible de informaciรณn sea la mayor posible dentro de un รกrea total fija de papel.
Tu reto:
Calcular la velocidad de propagaciรณn del brote usando la regla de la cadena, analizar la relaciรณn entre susceptibles e infectados con derivada implรญcita, identificar cuรกndo el brote crece mรกs rรกpido usando derivadas de orden superior, y determinar las dimensiones de la hoja del pรณster que maximizan el รกrea impresa.
Figura 2.
Representaciรณn del modelo epidemiolรณgico S-I-R y curva de contagios.
Nota. Representaciรณn del modelo epidemiolรณgico S-I-R y curva de contagios para el anรกlisis de tasas de cambio con derivadas en salud pรบblica. Fuente autor.
Ejercicio 1. Regla de la cadena – ¿A quรฉ velocidad se propaga el brote?
El nรบmero de contagiados I depende de la tasa de transmisiรณn ฮฒ (contactos efectivos por dรญa), y ฮฒ varรญa con el tiempo t (en dรญas). Las relaciones del modelo son:
I(ฮฒ)=sen(2ฮฒ+2)/cos(ฮฒ^2-ฮฒ+2) y ฮฒ(t)=t
Evaluar en t=1 dรญa.
I. ¿Cรณmo estรก compuesta la funciรณn I(ฮฒ(t))? ¿Cuรกl es la funciรณn exterior y cuรกl la interior? Antes de calcular, explica por quรฉ necesitas la regla de la cadena para encontrar dI/dt
II. Calcula dI/dt usando la regla de la cadena. Evalรบa el resultado en t=1 Muestra cada paso con el editor de ecuaciones de Word.
III. Verifica en GeoGebra la grรกfica de I(ฮฒ(t)) y la pendiente en t=1. Adjunta la captura. ¿A quรฉ ritmo crecen los contagios ese dรญa? ¿El brote se estรก acelerando o frenando? Explica.
Ejercicio 2. Derivada implรญcita – Relaciรณn entre personas susceptibles e infectadas
El modelo relaciona el nรบmero de personas susceptibles x (en miles) y el nรบmero de infectadas y (en miles) mediante la siguiente ecuaciรณn:
y^2=x^2 (13-x^2 )
El punto P=(3,6) pertenece a esta curva.
I. ¿Por quรฉ no puedes despejar y directamente de esta ecuaciรณn? Explica en quรฉ consiste la derivaciรณn implรญcita y cuรกndo se usa, antes de empezar a calcular.
II. Verifica que P=(3,6) pertenece a la curva. Calcula dy/dx por derivada implรญcita y evalรบa la pendiente en P. Escribe la ecuaciรณn de la recta tangente en ese punto.
III. En Google Colab, grafica la curva, el punto P y la recta tangente. Adjunta la captura con el cรณdigo y la grรกfica. ¿Quรฉ te dice la pendiente sobre la relaciรณn entre susceptibles e infectados en ese punto? ¿Cรณmo puede usarse esa informaciรณn para tomar decisiones de salud pรบblica? Argumenta tu respuesta.
Nota. Con base en las indicaciones del Anexo 6 - Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 6, escribe y ejecuta el cรณdigo y luego grafica la funciรณn.
Ejercicio 3. Derivadas de orden superior – ¿Cuรกndo crece mรกs rรกpido el brote?
El nรบmero de contagiados acumulados (en cientos de personas) en funciรณn del tiempo t (en dรญas), con t ≥ 0, es:
f(t)=1/5 t^3-7t^2+5t-43
I. ¿Quรฉ te dice f'(t) sobre la propagaciรณn del brote? ¿Y f''(t)? Explica antes de calcular por quรฉ necesitas las dos derivadas para saber en quรฉ momento la situaciรณn es mรกs crรญtica.
II. Calcula f'(t) y f''(t). Con esos resultados determina: (a) en quรฉ dรญa el ritmo de contagios se detiene momentรกneamente; (b) en quรฉ perรญodos el brote estรก creciendo; (c) en quรฉ momento la velocidad de propagaciรณn es la mรกs alta.
III. Grafica en GeoGebra f(t), f'(t) y f''(t). Adjunta la captura. ¿Cuรกndo es mรกs urgente intervenir? Argumenta tu respuesta.
Ejercicio 4. Aplicaciรณn de la derivada – ¿Quรฉ tamaรฑo de hoja maximiza el รกrea impresa?
La secretarรญa de salud va a imprimir un pรณster informativo de prevenciรณn. El รกrea total de la hoja debe ser exactamente 800 cm². El diseรฑo requiere mรกrgenes de 4 cm en la parte superior e inferior, y 2 cm en cada lado lateral. ¿Quรฉ dimensiones (ancho y alto) debe tener la hoja para que el รกrea visible de texto e imรกgenes sea la mayor posible?
I. ¿Quรฉ funciรณn quieres maximizar? ¿Cuรกl es la restricciรณn (el รกrea total de la hoja)? Antes de calcular, explica cรณmo la derivada te ayuda a encontrar las dimensiones que hacen mรกxima esa funciรณn.
II. Escribe la funciรณn del รกrea impresa en tรฉrminos de una sola variable usando la restricciรณn del รกrea total. Calcula la derivada, iguรกlala a cero y resuelve. ¿Cuรกles son las dimensiones รณptimas de la hoja?
III. Grafica en GeoGebra la funciรณn del รกrea impresa e identifica el punto mรกximo. Adjunta la captura. ¿Cuรกles son las dimensiones รณptimas? Argumenta tu respuesta.
Ejercicio 5 – Comรบn a todos los contextos: Infografรญa en inglรฉs: Participaciรณn en evento acadรฉmico
Nota:
El propรณsito de este ejercicio es promover la participaciรณn de los estudiantes en los eventos acadรฉmicos de la red de curso y fomentar el uso del inglรฉs como herramienta de comunicaciรณn cientรญfica.
Participa en la conferencia o evento acadรฉmico indicado en la red de curso, relacionado con aplicaciones de las matemรกticas en diferentes disciplinas. Deja evidencia de tu participaciรณn (presencial, sincrรณnica o asincrรณnica) mediante el diseรฑo de una infografรญa en inglรฉs, clara y visualmente atractiva.
La infografรญa debe incluir los siguientes elementos en inglรฉs:
Title: Name of the conference or academic event.
Introduction: A short description of the topic addressed.
Key ideas: Main contributions or conclusions from the event.
Connection to mathematics: How the topic relates to calculus, derivatives, or mathematical modeling.
Personal reflection: What you learned and how it connects to your academic or professional formation.
Source: Reference to the event (name, date, institution or link).
Para su elaboraciรณn puedes usar herramientas en lรญnea como Canva, o Genially. Adjunta la infografรญa al documento final o comparte el enlace activo de cualquier de las dos herramientas.
Contexto C
Economรญa y logรญstica
Empresa de transporte de carga
Contexto:
Una empresa de logรญstica y transporte de carga en la ciudad de Buenaventura (Colombia), quiere mejorar su rentabilidad. El equipo financiero necesita saber con quรฉ velocidad cambian los costos de operaciรณn segรบn el nรบmero de envรญos procesados al mes, entender si el costo marginal estรก subiendo o bajando en el tiempo, y diseรฑar el contenedor de distribuciรณn que cumpla con el volumen de carga requerido usando la menor cantidad posible de material metรกlico.
Tu reto:
Calcular la tasa de cambio de los costos operativos usando la regla de la cadena, analizar la relaciรณn entre ingreso y costo en un punto de equilibrio con derivada implรญcita, determinar cuรกndo el costo marginal se acelera usando derivadas de orden superior, y encontrar las dimensiones del contenedor que minimizan el material utilizado.
Figura 3.
Anรกlisis de costos e ingresos marginales en una empresa de logรญstica.
Nota. Representaciรณn del anรกlisis de costos e ingresos marginales en una empresa de logรญstica, con diseรฑo รณptimo del contenedor de distribuciรณn mediante derivadas. Fuente autor.
Ejercicio 1. Regla de la cadena – ¿A quรฉ velocidad crecen los costos de operaciรณn?
El costo de operaciรณn C (en millones de pesos) depende del nรบmero de envรญos E (en miles de unidades), y E varรญa con el tiempo t (en meses). Las relaciones son:
C(E)=sen(E^2-E+3)/cos(E+2) y E(t)=t
Evaluar en t=2 meses.
I. ¿Cรณmo estรก compuesta la funciรณn C(E(t)) ? Antes de calcular, explica por quรฉ necesitas la regla de la cadena para encontrar dC/dt.
II. Calcula dC/dt usando la regla de la cadena. Evalรบa el resultado en t=2. Muestra cada paso con el editor de ecuaciones de Word.
III. Verifica en GeoGebra la grรกfica de C(E(t)) y la pendiente en t=2. Adjunta la captura. ¿A quรฉ ritmo crecen los costos ese mes? Argumenta tu respuesta.
Ejercicio 2. Derivada implรญcita – Relaciรณn entre ingreso y costo en un punto de equilibrio
El modelo financiero relaciona el ingreso x (en millones de pesos) y el costo y (en millones de pesos) mediante la siguiente ecuaciรณn:
y^2=x^2 (25-x^2 )
El punto de equilibrio P=(4,12) pertenece a esta curva.
I. ¿Por quรฉ no puedes despejar y directamente de esta ecuaciรณn? Explica en tus palabras quรฉ es la derivaciรณn implรญcita y cuรกndo se usa, antes de empezar a calcular.
II. Verifica que P=(4,12) pertenece a la curva. Calcula dy/dx por derivada implรญcita y evalรบa la pendiente en P. Escribe la ecuaciรณn de la recta tangente en ese punto.
III. En Google Colab, grafica la curva, el punto P y la recta tangente. Adjunta la captura con el cรณdigo y la grรกfica. Si el ingreso sube una unidad desde ese punto, ¿cuรกnto cambia el costo? Argumenta tu respuesta.
Nota. Con base en las indicaciones del Anexo 6 - Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 6, escribe y ejecuta el cรณdigo y luego grafica la funciรณn.
Ejercicio 3. Derivadas de orden superior – ¿El costo marginal estรก subiendo o bajando?
El costo total acumulado de la empresa (en millones de pesos) en funciรณn del tiempo t (en meses), con t ≥ 0, es:
f(t)=1/5 t^3-3t^2+7t+63
I. ¿Quรฉ representa f'(t) en tรฉrminos de la empresa? ¿Y f''(t)? Explica antes de calcular para quรฉ sirven estas derivadas al analizar si los costos marginales estรกn subiendo o bajando.
II. Calcula f'(t) y f''(t). Con esos resultados determina: (a) en quรฉ meses el costo no estรก cambiando; (b) cuรกndo el costo marginal se estรก acelerando; (c) en quรฉ perรญodos serรญa conveniente renegociar contratos o reducir operaciones.
III. Grafica en GeoGebra f(t), f'(t) y f''(t). Adjunta la captura. ¿En quรฉ meses los costos crecen con mรกs fuerza? Explica.
Ejercicio 4. Aplicaciรณn de la derivada – ¿Cuรกl es el contenedor que usa menos material?
La empresa necesita fabricar contenedores de carga rectangulares sin tapa, con base cuadrada de lado x y altura h, con un volumen exacto de 32 m³ cada uno. Se quiere usar la menor cantidad posible de material metรกlico.
I. ¿Quรฉ funciรณn quieres minimizar? ¿Cuรกl es la restricciรณn (el volumen fijo)? Antes de calcular, explica cรณmo la derivada te ayuda a encontrar las dimensiones que hacen mรญnima esa funciรณn.
II. Escribe la funciรณn del รกrea superficial en tรฉrminos de x usando la restricciรณn del volumen. Calcula la derivada, iguรกlala a cero y resuelve. ¿Cuรกles son las dimensiones รณptimas x y h?
III. Grafica en GeoGebra el รกrea superficial en funciรณn de x e identifica el mรญnimo. Adjunta la captura. ¿Cuรกles son las dimensiones del contenedor รณptimo? Argumenta tu respuesta.
Ejercicio 5 – Comรบn a todos los contextos: Infografรญa en inglรฉs: Participaciรณn en evento acadรฉmico
Nota:
El propรณsito de este ejercicio es promover la participaciรณn de los estudiantes en los eventos acadรฉmicos de la red de curso y fomentar el uso del inglรฉs como herramienta de comunicaciรณn cientรญfica.
Participa en la conferencia o evento acadรฉmico indicado en la red de curso, relacionado con aplicaciones de las matemรกticas en diferentes disciplinas. Deja evidencia de tu participaciรณn (presencial, sincrรณnica o asincrรณnica) mediante el diseรฑo de una infografรญa en inglรฉs, clara y visualmente atractiva.
La infografรญa debe incluir los siguientes elementos en inglรฉs:
Title: Name of the conference or academic event.
Introduction: A short description of the topic addressed.
Key ideas: Main contributions or conclusions from the event.
Connection to mathematics: How the topic relates to calculus, derivatives, or mathematical modeling.
Personal reflection: What you learned and how it connects to your academic or professional formation.
Source: Reference to the event (name, date, institution or link).
Para su elaboraciรณn puedes usar herramientas en lรญnea como Canva, o Genially. Adjunta la infografรญa al documento final o comparte el enlace activo de cualquier de las dos herramientas.
Contexto D
Ingenierรญa civil
Diseรฑo de estructuras y materiales
Contexto:
Un equipo de ingenieros civiles en Colombia trabaja en un proyecto de infraestructura vial. Durante el proceso, necesitan saber con quรฉ velocidad gana resistencia un material de construcciรณn mientras se cura (endurece), entender cรณmo se mueve un elemento estructural bajo vibraciรณn, y diseรฑar los soportes metรกlicos para estaciones meteorolรณgicas cortando un perfil de acero de 15 metros de la manera que minimice el รกrea total encerrada.
Tu reto:
Calcular la tasa de cambio de la resistencia del material durante el curado usando la regla de la cadena, analizar la relaciรณn entre carga y deformaciรณn de un elemento estructural con derivada implรญcita, estudiar el movimiento de un elemento vibrante con derivadas de orden superior, y determinar cรณmo cortar el perfil de acero para que el รกrea total encerrada sea mรญnima.
Figura 4.
Representaciรณn de una estructura de ingenierรญa civil.
Nota. Representaciรณn de una estructura de ingenierรญa civil con anรกlisis de tasas de cambio en materiales y optimizaciรณn del diseรฑo de soportes metรกlicos mediante derivadas. Fuente autor.
Ejercicio 1. Regla de la cadena – ¿A quรฉ velocidad gana resistencia el material?
La resistencia R de un material de construcciรณn (en MPa) depende de la temperatura de curado T (en °C), y T varรญa con el tiempo t (en horas) desde el inicio del proceso. Las relaciones son:
R(T)=sen(T+7)/cos(T^2-2T+4) y T(t)=t
Evaluar en t=2 horas.
I. ¿Cรณmo estรก compuesta la funciรณnR(T(t))? Antes de calcular, explica por quรฉ necesitas la regla de la cadena para obtener dR/dt
II. Calcula dR/dt usando la regla de la cadena. Evalรบa el resultado en t=2. Muestra cada paso con el editor de ecuaciones de Word.
III. Verifica en GeoGebra la grรกfica de R(T(t)) y la pendiente en t=2. Adjunta la captura. ¿A quรฉ velocidad gana resistencia el material en ese momento? Explica.
Ejercicio 2. Derivada implรญcita – Relaciรณn entre carga y deformaciรณn de un elemento estructural
Los ingenieros identificaron que la relaciรณn entre la carga x (en toneladas) y la deformaciรณn y (en mm) de un elemento estructural estรก dada por la siguiente ecuaciรณn, donde y no puede despejarse directamente:
y^2=x^2 (41-x^2 )
El punto P = (5, 20) pertenece a esta curva.
I. ¿Por quรฉ no puedes despejar y directamente de esta ecuaciรณn? Explica en quรฉ consiste la derivaciรณn implรญcita y cuรกndo se usa, antes de comenzar a calcular.
II. Verifica que P = (5, 20) pertenece a la curva. Calcula dy/dx por derivada implรญcita y evalรบa la pendiente en P. Escribe la ecuaciรณn de la recta tangente en ese punto.
III. En Google Colab, grafica la curva, el punto P y la recta tangente. Adjunta la captura con el cรณdigo y la grรกfica. Si la carga aumenta una tonelada desde ese punto, ¿cuรกnto se deforma adicionalmente el elemento? Argumenta tu respuesta.
Nota. Con base en las indicaciones del Anexo 6 - Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 6, escribe y ejecuta el cรณdigo y luego grafica la funciรณn.
Ejercicio 3. Derivadas de orden superior – ¿Cuรกndo estรก en reposo el elemento vibrante?
La posiciรณn de un elemento estructural vibrante (en pies) en funciรณn del tiempo t (en segundos), con t ≥ 0, es:
f(t)=1/5 t^3-5t^2+12t-83
I. ¿Quรฉ te dice f'(t) sobre el movimiento del elemento? ¿Y f''(t)? Explica antes de calcular para quรฉ sirven cada una de estas derivadas en el anรกlisis de una estructura vibrante.
II. Calcula f'(t) y f''(t). Con esos resultados determina: (a) en quรฉ instantes el elemento estรก en reposo; (b) en quรฉ perรญodos se mueve en direcciรณn positiva; (c) cuรกndo la velocidad y la aceleraciรณn tienen el mismo signo (el movimiento se acelera).
III. Grafica en GeoGebra f(t),f'(t) y f''(t). Adjunta la captura. ¿En quรฉ momentos el elemento presenta mayor riesgo de fatiga por vibraciรณn? ¿Cuรกndo se estabiliza el movimiento? Argumenta tu respuesta.
Ejercicio 4. Aplicaciรณn de la derivada – ¿Cรณmo cortar el perfil de acero para que el รกrea sea mรญnima?
Un ingeniero dispone de un perfil de acero de 15 metros para fabricar dos estructuras: el marco de una base cuadrada de lado x y una estructura triangular equilรกtera de lado y. ¿En quรฉ punto debe cortar el perfil para que el รกrea total encerrada por las dos estructuras sea la menor posible?
I. ¿Quรฉ funciรณn quieres minimizar? ¿Cuรกl es la restricciรณn (la longitud total del perfil)? Antes de calcular, explica cรณmo la derivada te ayuda a encontrar el punto de corte รณptimo.
II. Expresa el รกrea total en funciรณn de una sola variable usando la restricciรณn de longitud. Calcula la derivada, iguรกlala a cero y resuelve. ¿Cuรกntos metros van al cuadrado y cuรกntos al triรกngulo?
III. Grafica en GeoGebra la funciรณn de รกrea total e identifica el mรญnimo. Adjunta la captura. ¿Cuรกl es la distribuciรณn รณptima del material? Argumenta tu respuesta.
Ejercicio 5 – Comรบn a todos los contextos: Infografรญa en inglรฉs: Participaciรณn en evento acadรฉmico
Nota:
El propรณsito de este ejercicio es promover la participaciรณn de los estudiantes en los eventos acadรฉmicos de la red de curso y fomentar el uso del inglรฉs como herramienta de comunicaciรณn cientรญfica.
Participa en la conferencia o evento acadรฉmico indicado en la red de curso, relacionado con aplicaciones de las matemรกticas en diferentes disciplinas. Deja evidencia de tu participaciรณn (presencial, sincrรณnica o asincrรณnica) mediante el diseรฑo de una infografรญa en inglรฉs, clara y visualmente atractiva.
La infografรญa debe incluir los siguientes elementos en inglรฉs:
Title: Name of the conference or academic event.
Introduction: A short description of the topic addressed.
Key ideas: Main contributions or conclusions from the event.
Connection to mathematics: How the topic relates to calculus, derivatives, or mathematical modeling.
Personal reflection: What you learned and how it connects to your academic or professional formation.
Source: Reference to the event (name, date, institution or link).
Para su elaboraciรณn puedes usar herramientas en lรญnea como Canva, o Genially. Adjunta la infografรญa al documento final o comparte el enlace activo de cualquier de las dos herramientas.
Contexto E
Gestiรณn ambiental
Recursos naturales y ecologรญa
Contexto:
Un equipo de gestiรณn ambiental en Colombia monitorea un ecosistema fluvial que abastece de agua a comunidades rurales. Necesitan saber con quรฉ velocidad sube o baja el nivel del rรญo cada semana, entender cรณmo la temperatura del agua afecta la cantidad de oxรญgeno disuelto (lo que determina la salud del ecosistema), identificar en quรฉ meses la contaminaciรณn crece mรกs rรกpido y diseรฑar una canaleta de irrigaciรณn con la mayor capacidad de conducciรณn posible a partir de una lรกmina de acero de 60 cm de ancho.
Tu reto:
Calcular la tasa de cambio del nivel del rรญo usando la regla de la cadena, analizar la relaciรณn entre temperatura del agua y oxรญgeno disuelto con derivada implรญcita, identificar cuรกndo la contaminaciรณn se acelera usando derivadas de orden superior, y determinar la altura de doblez de la canaleta que permite transportar el mayor caudal posible.
Figura 5.
Representaciรณn de un ecosistema fluvial con monitoreo del nivel del rรญo.
Nota. Representaciรณn de un ecosistema fluvial con monitoreo del nivel del rรญo, anรกlisis de calidad del agua y diseรฑo de canaleta de irrigaciรณn mediante derivadas. Fuente autor.
Ejercicio 1. Regla de la cadena – ¿A quรฉ velocidad sube o baja el nivel del rรญo?
El nivel del rรญo N (en metros) depende de la precipitaciรณn acumulada P (en mm), y P varรญa con el tiempo t (en semanas). Las relaciones del modelo hidrolรณgico son:
N(P)=sen(P^2-2P+4)/cos(3P+1) y P(t)=t
Evaluar en t=1 semana.
I. ¿Cรณmo estรก compuesta la funciรณn N(P(t))? Antes de calcular, explica por quรฉ necesitas la regla de la cadena para encontrar dN/dt y quรฉ significa fรญsicamente esa derivada en el contexto del rรญo.
II. Calcula dN/dt usando la regla de la cadena. Evalรบa el resultado en t = 1. Muestra cada paso con el editor de ecuaciones de Word.
III. Verifica en GeoGebra la grรกfica de N(P(t))y la pendiente en t = 1. Adjunta la captura. ¿El nivel del rรญo estรก subiendo o bajando esa semana? ¿Representa riesgo de inundaciรณn o de sequรญa para las comunidades? Argumenta tu respuesta.
Ejercicio 2. Derivada implรญcita – Relaciรณn entre temperatura del agua y oxรญgeno disuelto
Los biรณlogos ambientales encontraron que la relaciรณn entre la temperatura del agua x (en °C) y el oxรญgeno disuelto y (en mg/L) en el tramo del rรญo estudiado estรก dada por la siguiente ecuaciรณn:
y^2=x^2 (61-x^2 )
El punto de condiciรณn actual P = (6, 30) pertenece a esta curva.
I. ¿Por quรฉ no puedes despejar y directamente de esta ecuaciรณn? Explica en quรฉ consiste la derivaciรณn implรญcita y cuรกndo se usa, antes de empezar a calcular.
II. Verifica que P = (6, 30) pertenece a la curva. Calcula dy/dx por derivada implรญcita y evalรบa la pendiente en P. Escribe la ecuaciรณn de la recta tangente en ese punto.
III. En Google Colab, grafica la curva, el punto P y la recta tangente. Adjunta la captura con el cรณdigo y la grรกfica. Si la temperatura sube 1 °C desde ese punto, ¿cuรกnto cambia el oxรญgeno disuelto y quรฉ implicaciรณn tiene eso para la fauna acuรกtica del rรญo? Argumenta tu respuesta.
Nota. Con base en las indicaciones del Anexo 6 - Orientaciones para el uso del Google Colab Reto 6, escribe y ejecuta el cรณdigo y luego grafica la funciรณn.
Ejercicio 3. Derivadas de orden superior – ¿Cuรกndo se acelera la contaminaciรณn?
El รญndice de contaminaciรณn del rรญo (en unidades de concentraciรณn relativa) en funciรณn del tiempo t (en meses), con t ≥ 0, es:
f(t)=1/5 t^3-8t^2+11t+53
I. ¿Quรฉ te dice f'(t) sobre la contaminaciรณn del rรญo? ¿Y f''(t)? Explica antes de calcular para quรฉ sirven estas derivadas cuando quieres saber en quรฉ meses la situaciรณn ambiental es mรกs urgente.
II. Calcula f'(t) y f''(t). Con esos resultados determina: (a) en quรฉ meses el nivel de contaminaciรณn no estรก cambiando; (b) en quรฉ perรญodos la contaminaciรณn crece; (c) en quรฉ meses el proceso de contaminaciรณn se acelera.
III. Grafica en GeoGebra f(t), f'(t) y f''(t). Adjunta la captura. ¿Cuรกndo es mรกs urgente intervenir para reducir la contaminaciรณn? Argumenta tu respuesta.
Ejercicio 4. Aplicaciรณn de la derivada – ¿Quรฉ altura de doblez lleva mรกs agua en la canaleta?
Un ingeniero ambiental diseรฑa una canaleta para llevar agua por gravedad hacia los cultivos. La canaleta se forma doblando hacia arriba los dos bordes de una lรกmina de acero de 60 cm de ancho, creando una secciรณn en forma de U (abierta por arriba). Sea h la altura de cada doblez lateral. ¿Quรฉ valor de h hace que la secciรณn transversal sea mรกs grande y el caudal transportado sea el mayor posible?
I. ¿Quรฉ funciรณn quieres maximizar? ¿Cรณmo se relacionan h, el ancho de la base y el ancho total de la lรกmina? Antes de calcular, explica cรณmo la derivada te ayuda a encontrar el valor de h que hace mรกxima esa funciรณn.
II. Escribe la funciรณn del รกrea de la secciรณn transversal en tรฉrminos de h. Calcula la derivada, iguรกlala a cero y resuelve. ¿Cuรกl es la altura รณptima h de los dobleces?
III. Grafica en GeoGebra el รกrea de la secciรณn en funciรณn de h e identifica el mรกximo. Adjunta la captura. ¿Cuรกl es la altura รณptima de doblez y cuรกnto mide la base de la canaleta resultante? Argumenta tu respuesta.
Ejercicio 5 – Comรบn a todos los contextos: Infografรญa en inglรฉs: Participaciรณn en evento acadรฉmico
Nota:
El propรณsito de este ejercicio es promover la participaciรณn de los estudiantes en los eventos acadรฉmicos de la red de curso y fomentar el uso del inglรฉs como herramienta de comunicaciรณn cientรญfica.
Participa en la conferencia o evento acadรฉmico indicado en la red de curso, relacionado con aplicaciones de las matemรกticas en diferentes disciplinas. Deja evidencia de tu participaciรณn (presencial, sincrรณnica o asincrรณnica) mediante el diseรฑo de una infografรญa en inglรฉs, clara y visualmente atractiva.
La infografรญa debe incluir los siguientes elementos en inglรฉs:
Title: Name of the conference or academic event.
Introduction: A short description of the topic addressed.
Key ideas: Main contributions or conclusions from the event.
Connection to mathematics: How the topic relates to calculus, derivatives, or mathematical modeling.
Personal reflection: What you learned and how it connects to your academic or professional formation.
Source: Reference to the event (name, date, institution or link).
Nota: La informaciรณn publicada en este sitio no sustituye las orientaciones oficiales de la UNAD. Se recomienda verificar siempre las instrucciones, fechas y criterios de evaluaciรณn directamente en los espacios institucionales correspondientes.
