ECUACIONES DIFERENCIALES - (100412A_2204) Tarea 3 - Solución, simulación e interpretación de ecuaciones diferenciales de orden superior - - SOLUCION

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La actividad consiste en: ● Consultar los contenidos temáticos del RAC 3 – Ecuaciones diferenciales de orden superior ubicados en el Entorno de Aprendizaje y Evaluación del RAC 3. ● Responder en el Foro de Discusión de forma oportuna y adecuada a los ejercicios propuestos, de acuerdo con su selección, según lineamientos de la Guía de Actividades propuesta. Para abordar los contenidos se requiere consultar los siguientes recursos educativos: Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior • García Hernández, A. E. (2015). Ecuaciones diferenciales. Grupo Editorial Patria. (pp. 80-125). https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39438?page=8 0 • Granados Aguilar, A. S. (2022). Ejemplario: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (1.ª ed.). Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). (pp. 124-216). https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/278852?page= 124 Ecuaciones lineales de segundo orden. • Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Ecoe Ediciones. (pp. 59-63). https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69222?page=5 9 Ecuaciones diferenciales de orden superior. • Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Ecoe Ediciones. (pp. 71-79). https://elibro- 3 net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69222?page=7 1 Ecuaciones lineales de orden superior. • Osses Alvarado, A. (2024). Ecuaciones diferenciales: (1 ed.). Editorial Universitaria de Chile. (pp. 71-93). https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/284023?page= 71 Aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden superior. • Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Ecoe Ediciones. (pp. 112-121). https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69222?page=1 12 Ecuaciones diferenciales mediante Google Colab • Moran, D. S. (2025). Solución de Ecuaciones Diferenciales mediante Google Colab. [E-book]. Repositorio Institucional UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/70478 Para el desarrollo de esta actividad debe seguir los siguientes pasos: Paso 1. Revisión de los contenidos del RAC 3. El estudiante debe ingresar al Entorno de Aprendizaje y Evaluación del RAC 3 y revisar las referencias requeridas. Paso 2. Elección en el foro de ejercicios a desarrollar individualmente. La actividad actual evalúa cuatro temáticas y cada una de estas temáticas está compuesta por cinco ejercicios tipo A, B, C, D y E de la siguiente manera: 4 Ejercicio 1: Respuesta libre del sistema -- ecuación diferencial homogénea de orden superior. Ejercicio 2: Respuesta forzada del sistema -- ecuación diferencial no homogénea por coeficientes indeterminados. Ejercicio 3: Implementación en Google Colab -- verificación y exploración paramétrica. Ejercicio 4: Aplicación -- diagnóstico, comparación y síntesis. Ejercicio 5: Sustentación del ejercicio 4 Así, cada estudiante debe seleccionar una letra y desarrollar el ejercicio asociado a esa letra en cada una de las cuatro temáticas. Para la realización del ejercicio 3, el estudiante deberá basarse en el archivo Anexo 8 -- Notebook_Ecuaciones_Diferenciales_de_orden_superior.ipynb, el cual podrá descargar de la carpeta Guía de aprendizaje - Tarea 3 - Solución, simulación e interpretación de ecuaciones diferenciales de orden superior, en el Entorno de Aprendizaje y Evaluación -- Momento Intermedio. Este archivo deberá ser trabajado en Google Colab, lo cual será explicado en la correspondiente WebConferencia de la sesión. Como apoyo, el estudiante también contará en la misma carpeta con el documento Anexo 7 -- Solución de Ecuaciones Diferenciales mediante Google Colab, el cual se encuentra alojado en nuestro repositorio institucional. Después debe realizar el ejercicio 5 que se relaciona con la sustentación del ejercicio 4 mediante un video. Posteriormente el estudiante debe indicar en el foro qué letra va a escoger. Paso 3 – Presentación en el foro de los aportes. El estudiante procede con el desarrollo de los ejercicios seleccionados y presenta los aportes en el Foro para el paso 3 teniendo en cuenta los siguientes parámetros: 5 - Para conocer los ejercicios para desarrollar y las pautas de cada ejercicio descargar el documento Anexo 4- Ejercicios Tarea 3 que se encuentra en la carpeta del foro Guía de aprendizaje - Tarea 3 - Solución, simulación e interpretación de ecuaciones diferenciales de orden superior. - Se definen como aportes en el foro a los documentos adjuntos en Word donde se presentan avances del desarrollo de los ejercicios seleccionados utilizando el editor de ecuaciones de carácter obligatorio. - Solo se deben presentar los aportes de ejercicios de la letra seleccionada, por ejemplo, si un estudiante elige los ejercicios A, solo debe presentar los ejercicios 1A a 4A y el ejercicio 5 que es el enlace de sustentación del ejercicio 4A. - Colocar al final del Anexo 3 – Plantilla Entrega Tarea 3, siguiendo las indicaciones de esta plantilla, las capturas de pantalla de al menos tres aportes (en Word usando el editor de ecuaciones) que haya subido al foro de este RAC, con al menos 3 días hábiles de anticipación al cierre de esta actividad, para tener en cuenta su participación en el criterio de la rúbrica correspondiente. Paso 4 – Elaboración de un video explicativo del ejercicio 4. (Ejercicio 5) El ejercicio 5 se relaciona con sustentar el ejercicio 4 de acuerdo con la letra elegida por medio de un video explicativo. Revisar en el Anexo 4 - Ejercicios Tarea 3, ejercicio 5 las pautas de contenido y tecnológicas de la sustentación. Paso 5 – Colocar el enlace. En el trabajo final el estudiante debe colocar el enlace del video explicativo generado por el aplicativo Youtube o Loom. 6 Paso 6 – Compilación trabajo final.

Anexo 4 – Tarea 3 - Solución, simulación e interpretación de ecuaciones diferenciales de orden superior A continuación, se presentan los ejercicios de la Tarea 3, correspondientes al desarrollo del siguiente resultado de aprendizaje: Resultado de Aprendizaje del Curso 3 (RAC 3): Resolver situaciones problemáticas de ingeniería modeladas mediante ecuaciones diferenciales de orden superior, implementando estrategias de pensamiento computacional e implementación de herramientas de programación para la simulación e interpretación crítica de soluciones. Cada letra (A, B, C, D o E) determina el sistema dinámico real que el estudiante trabajará de forma coherente en los cuatro primeros ejercicios. El estudiante selecciona una sola letra y la conserva a lo largo de toda la Tarea 3. A. Cartagena (Bolívar) – Grúa pórtico del puerto de contenedores. B. Manizales (Caldas) – Zaranda vibratoria de una planta de procesamiento de café. C. Mocoa (Putumayo) – Bomba de una estación de acueducto rural. D. Riohacha (La Guajira) – Péndulo amortiguado (TMD) de una turbina eólica. E. Barrancabermeja (Santander) – Péndulo sensor de nivel en una planta 7 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦 ′ (0) = 0 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 3 petroquímica. Ejercicio 1. Respuesta libre del sistema: ecuación diferencial homogénea de orden superior Todo sistema dinámico posee un comportamiento natural cuando se aparta de su posición de equilibrio sin la acción de fuerzas externas. Esta respuesta libre depende únicamente de los parámetros internos del sistema (inercia, amortiguamiento, rigidez) y de las condiciones iniciales. Reconocer si la respuesta libre es subamortiguada (oscilatoria y decreciente), sin amortiguamiento (oscilatoria sostenida) o sobreamortiguada (lenta y monótona) es el primer paso para diagnosticar cualquier sistema dinámico real. Resuelva la ecuación diferencial homogénea (mediante el método de los coeficientes constantes) correspondiente a su letra, mostrando en detalle cada paso del proceso. A. Cartagena – Grúa pórtico del puerto Una grúa pórtico de contenedores presenta, tras una inspección de mantenimiento, una vibración residual en su sistema de izaje: el cable se desplaza 2 unidades respecto a su posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. La respuesta libre del sistema determina si esa vibración se amortigua de forma rápida y monótona, o si oscila antes de estabilizarse. B. Manizales – Zaranda vibratoria Una zaranda vibratoria de clasificación de granos de café, montada sobre amortiguadores de caucho industrial, recibe un golpe accidental durante el mantenimiento que le imprime una velocidad inicial de 3 unidades, sin desplazamiento. La respuesta libre revela si las vibraciones residuales se atenúan oscilando o de forma directa. 8 𝑦 ′′ + 7𝑦 ′ + 10𝑦 = 0, 𝑦(0) = 3, 𝑦 ′ (0) = 0 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = 0 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 4 C. Mocoa – Bomba de acueducto rural Una bomba reinstalada sobre una base antivibratoria, tras la remediación de la estación de acueducto, queda desplazada 3 unidades de su posición de equilibrio al momento de encenderse. La respuesta libre permite diagnosticar si esta vibración inicial representa un riesgo para el anclaje del equipo. D. Riohacha – Péndulo amortiguado de turbina eólica Un péndulo amortiguado (tuned mass damper) instalado en la torre de una turbina eólica se desplaza un ángulo inicial equivalente a 1 unidad y se suelta sin velocidad. Al no tener mecanismo disipador en este primer diseño, el sistema vibra de forma indefinida una vez perturbado. E. Barrancabermeja – Péndulo sensor de nivel Un sensor de nivel tipo péndulo, instalado en un tanque de almacenamiento de una planta petroquímica, recibe una perturbación por vibración del tanque que le imprime una velocidad inicial de 4 unidades, sin desplazamiento. La respuesta libre indica si el sensor recupera su posición de reposo de forma oscilatoria o monótona. 9 Instrucciones • Análisis conceptual: – Escriba la ecuación característica y determine sus raíces. – Clasifique la naturaleza de las raíces (reales distintas, complejas conjugadas o imaginarias puras) e identifique el tipo de respuesta libre del sistema. • Procedimiento de resolución: – Construya la solución general a partir de las raíces encontradas. – Aplique las condiciones iniciales y determine la solución particular. • Verificación: – Sustituya la solución en la ecuación original y en las condiciones iniciales para confirmar que es correcta. – Verifique con SymPy en Google Colab (adjuntar captura de pantalla). Interpretación: ¿qué tipo de respuesta presenta su sistema? ¿Qué significa este comportamiento para la situación real descrita (la grúa, la zaranda, la bomba, el péndulo de la turbina o el sensor, según su letra)? ¿Representa un riesgo o un comportamiento esperado? Ejercicio 2. Respuesta forzada del sistema: ecuación diferencial no homogénea El sistema de su letra ahora deja de estar en reposo: una fuerza externa constante actúa sobre él. Resuelva la versión forzada de la misma ecuación que trabajó en el Ejercicio 1, aplicando el método de coeficientes indeterminados. La solución complementaria 𝑦𝑐 tiene la misma estructura que ya encontró en el Ejercicio 1; ahora debe sumarle la solución particular 𝑦𝑝 asociada al término forzante. 10 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 12, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 5𝑦 = 10, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 𝑦 ′′ + 7𝑦 ′ + 10𝑦 = 30, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 A. Cartagena – Grúa pórtico del puerto La grúa que en el Ejercicio 1 vibraba libremente tras la inspección ahora entra en operación normal: debe levantar un contenedor de carga pesada y mantenerlo suspendido durante la maniobra de izaje. Esta carga sostenida actúa como una fuerza externa constante sobre el sistema, distinta de la perturbación inicial ya analizada. El reto es determinar si el cable de izaje alcanza una nueva posición de equilibrio de forma segura, sin oscilaciones que pongan en riesgo la carga o la estructura de la grúa. B. Manizales – Zaranda vibratoria La zaranda que en el Ejercicio 1 vibraba libremente tras el golpe accidental ahora entra en funcionamiento continuo: el motor de la planta le transmite un impulso constante para iniciar el proceso de clasificación de granos. Esta fuerza sostenida reemplaza la perturbación puntual anterior. El reto es determinar si el mecanismo vibratorio se estabiliza en un nuevo régimen de operación seguro, o si el impulso del motor genera oscilaciones que comprometan la clasificación del café. C. Mocoa – Bomba de acueducto rural La bomba que en el Ejercicio 1 vibraba tras quedar desplazada de su posición de equilibrio ahora opera de forma continua, ejerciendo una fuerza sostenida sobre su base de montaje mientras abastece de agua a la comunidad rural. El reto es determinar si esta operación constante permite que el sistema se asiente en un nuevo punto de equilibrio sin comprometer el anclaje del equipo, garantizando un suministro estable de agua. 11 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 4, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 D. Riohacha – Péndulo amortiguado de turbina eólica El péndulo que en el Ejercicio 1 vibraba libremente tras desplazarse un ángulo inicial ahora enfrenta una condición de operación real: el viento sostenido de La Guajira ejerce una fuerza constante sobre la torre de la turbina. El reto es determinar si el péndulo amortiguado alcanza una nueva posición de equilibrio capaz de controlar las oscilaciones inducidas por el viento, protegiendo la integridad estructural de la torre. E. Barrancabermeja – Péndulo sensor de nivel El sensor de nivel que en el Ejercicio 1 vibraba tras una perturbación puntual del tanque ahora enfrenta una condición sostenida: el tanque de la planta petroquímica transmite una vibración constante que empuja el péndulo del sensor de forma continua. El reto es determinar si el sensor logra estabilizarse en una nueva posición de equilibrio que permita lecturas confiables del nivel del tanque, a pesar de la vibración persistente del equipo. Instrucciones Resuelva analíticamente mostrando: (a) solución complementaria 𝑦𝑐 (reutilice la estructura del Ejercicio 1), 12 (b) solución particular 𝑦𝑝 por coeficientes indeterminados, (c) solución general 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝, (d) solución con condiciones iniciales aplicadas. Interpretación: ¿hacia qué valor de equilibrio converge el sistema a largo plazo? ¿Cómo se relaciona ese valor con la fuerza externa aplicada? ¿El sistema oscila antes de estabilizarse, o llega de forma directa? Ejercicio 3. Implementación en Google Colab – Verificación y exploración paramétrica Google Colab permite combinar código ejecutable, texto explicativo y visualizaciones en un mismo documento (notebook). Las librerías SymPy (cálculo simbólico) y SciPy (cálculo numérico) permiten resolver, verificar y graficar ecuaciones diferenciales con pocas líneas de código. Basado en el sistema de su letra (Ejercicio 2) y en el archivo Anexo 8 – Notebook_Ecuaciones_Diferenciales_de_orden_superior.ipynb, implemente la solución computacional y realice la exploración paramétrica. 1. Solución simbólica Implemente con SymPy (función dsolve) la solución del sistema del Ejercicio 2. Verifique que el resultado coincide con la solución analítica obtenida a mano. 2. Visualización Genere la gráfica de la solución con ejes etiquetados, título descriptivo del sistema y leyenda. 3. Exploración paramétrica – dos escenarios 13 Grafique en una misma figura el comportamiento de su sistema con el coeficiente de amortiguamiento actual y con el coeficiente alternativo de la tabla siguiente, sin resolver primero a mano el caso alternativo: observe primero el cambio en la gráfica y luego interprete. Tabla 1. Ecuaciones diferenciales para cada letra Letra Sistema Coef. actual Coef. alternativo A 𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 6𝑦 = 12 𝑏 = 5 𝑏 = 2 B 𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 5𝑦 = 10 𝑏 = 4 𝑏 = 6 C 𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 10𝑦 = 30 𝑏 = 7 𝑏 = 4 D 𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 4𝑦 = 4 𝑏 = 0 𝑏 = 5 E 𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 5𝑦 = 10 𝑏 = 2 𝑏 = 6 Nota: La tabla presenta las ecuaciones diferenciales de segundo orden asignadas a cada letra (A–E), junto con el coeficiente de amortiguamiento actual y un coeficiente alternativo que se utilizarán en la exploración paramétrica del Ejercicio 3. 4. Verificación numérica Compare la solución simbólica con la solución numérica obtenida con scipy.integrate.solve_ivp para el coeficiente actual. Superponga ambas curvas en una misma gráfica. ¿Son coincidentes? 5. Enlace público Comparta el notebook en Google Drive con acceso público (Cualquier persona con el enlace puede ver). Verifique el enlace en ventana de incógnito antes de entregarlo. Ejercicio 4. Aplicación – Diagnóstico, comparación y síntesis Con base en los resultados analíticos (Ejercicios 1 y 2) y la exploración computacional (Ejercicio 3), responda las siguientes preguntas orientadoras para el sistema de su letra. 14 1. Diagnóstico ¿Qué tipo de comportamiento tiene su sistema según la clasificación obtenida en el Ejercicio 1 (subamortiguado, sobreamortiguado o sin amortiguamiento)? ¿Qué significa ese comportamiento para la situación real descrita? ¿Es deseable o representa un riesgo operacional? 2. Comparación Al observar el escenario con el coeficiente alternativo del Ejercicio 3, ¿el comportamiento del sistema mejora o empeora respecto al caso actual? ¿Qué decisión de ingeniería tomaría con base en esa comparación? (por ejemplo, ¿añadiría o reduciría amortiguamiento?) 3. Síntesis ¿Cómo se relacionan la solución analítica obtenida a mano (Ejercicios 1 y 2) con la gráfica generada en Colab (Ejercicio 3)? ¿Las predicciones coinciden? ¿Qué le aportó cada una de las dos formas de resolver el mismo problema? Ejercicio 5. Video de sustentación Realice un video sustentando el proceso completo de la Tarea 3 (Ejercicios 1 a 4). Utilice como apoyo visual el Anexo 3 – Plantilla Entrega Tarea 3 (no diapositivas ni otros documentos). Duración máxima: 5 minutos. 1. Introducción (30 segundos) Presentación personal (mostrar el rostro). Mencione el sistema dinámico asignado (letra y lugar) y el comportamiento identificado. 2. Fundamento matemático (60 segundos) 15 explique cómo se obtuvo la solución homogénea (Ejercicio 1) y la solución forzada (Ejercicio 2). Conecte la clasificación del comportamiento con la situación real. 3. Implementación en Colab (90 segundos) Recorra el código del Ejercicio 3 mostrando los dos escenarios paramétricos. Ejecute las celdas en vivo y muestre las gráficas resultantes. 4. Interpretación ingenieril (60 segundos) Explique las respuestas del Ejercicio 4 en el lenguaje del sistema asignado. 5. Conclusiones (60 segundos) Sintetice la conexión entre el método analítico (Ejercicios 1 y 2), la simulación computacional (Ejercicio 3) y la interpretación de ingeniería (Ejercicio 4). Duración total estimada: 5 minutos Pautas tecnológicas de la sustentación • Duración máxima: 5 minutos. • Incluir captura de pantalla del notebook en Colab durante el video. El rostro del estudiante debe ser visible durante la introducción. • Audio claro y ambiente sin ruidos que dificulten la comprensión. • Se recomienda Loom o YouTube (no listado) para la grabación y generación del enlace.

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